Question

Вычислить определенный интеграл с
точностью до 0,001 путем предварительного разложе-
ния подынтегральной функции в степенной ряд.

Answer 1

Разложим функцию y = cos^2 x в ряд Тейлора.
y(0) = cos^2 0 = 1
y' = 2cos x*(-sin x) = -2sin x*cos x = -sin 2x; y'(0) = 0
y'' = -2cos 2x; y''(0) = -2cos 0 = -2
y''' = -2(-sin 2x)*2 = 4sin 2x; y''' (0) = 0
y^(iv) = 8cos(2x); y^(iv) (0) = 8cos 0 = 8
Ряд Тейлора выглядит так:
cos^2 x=1+0x/1!+(-2)x^2/2!+0x^3/3!+8x^4/4!+...+(-1)^n*2^(2n-1)*x^(2n)/(2n)!
cos^2 x = 1 - 2x^2/2! + 8x^4/4! - 32x^6/6! + 128x^8/8! - ... =
= 1 - x^2 + x^4/3 - 2x^6/45 + x^8/315 - ...
Берем интеграл от этой суммы:
$intlimits^{1/2}_0 {cos^2(x)} , dx = intlimits^{1/2}_0 {(1 - x^2 + frac{x^4}{3} - frac{2x^6}{45} + frac{x^8}{315})} , dx =$
$=x- frac{x^3}{3} + frac{x^5}{3*5} - frac{2x^7}{45*7} + frac{x^9}{9*315}|^{1/2}_0 = \ = frac{1}{2} - frac{1}{8*3} + frac{1}{32*15} - frac{2}{128*315} + frac{1}{512*2835}$
Последний член можно отбросить, он явно меньше 0,001. Получаем:
$frac{1}{2} - frac{1}{24} + frac{1}{480} - frac{1}{64*315}=0,46036$
С точностью до 0,001 будет 0,460.