Question

Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной графиками функций (ось вращения – ось
Ox ): y=5cosx , y=cosx , x=0 , x≥0

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

рисуем графики и видим пределы интегрирования по х (0;π/2)

и наш объем рассчитываем  ка разность объемов тел, образованныx вращением кривых y₁=5cosx , y₂=cosx

$V=V_1-V_2=\pi \int\limits^{\pi /2}_0 {(5cosx)^2} \, dx -\pi \int\limits^{\pi /2}_0 {(cosx)^2} \, dx =\pi \int\limits^{\pi /2}_0 {(5cosx)^2-(cosx)^2} \, dx =\\\\\pi \int\limits^{\pi /2}_0 {24(cosx)^2} \, dx =$

по формуле $cos^2x= \frac{1}{2} cos2x+\frac{1}{2}$  

сначала посчитаем интеграл

$\int\limits^{\pi /2}_0 {24(cosx)^2} \, dx = 12(\int\limits^{\pi /2}_0 {} \, dx +\int\limits^{\pi /2}_0 {cos2x} \, dx )=$

$=12xI_0^{\pi /2}+\left[\begin{array}{ccc}u=2x\\du=2dx\\\end{array}\right] =$

после замены пересчитаем пределы интегрирования: верхний u = π; нижний u = 0

$=6\pi +16\int\limits^\pi _0 {cosu} \, du =6\pi +sinuI_0^\pi =6\pi -0=6\pi$

и теперь объем

$V=\pi *6\pi$