Question

Вычислить несобственный интеграл, используя вычеты:

интеграл от -бескон до + бескон (cosxdx)/(1+x^4)

Answer 1

Вычислим предел интеграла
$displaystylelim_{Rtoinfty}oint_{C_R}frac{e^{iz},dz}{1+z^4}$ 
где интеграл берётся по контуру, состоящему из верхней полуокружности и отрезка [-R, R], обходимому в положительном направлении.

С одной стороны, этот интеграл можно представить в виде суммы интегралов по дуге и отрезку, притом в силу леммы Жордана интеграл по дуге стремится к нулю, так как
$displaystyleleft|frac1{1+z^4}right|=oleft(frac1{R^3}right)$

С другой стороны, этот интеграл можно взять при помощи вычетов. Под интегралом стоит мероморфная функция, имеющая простые полюсы в корнях 4-й степени из -1. В контур интегрирования попадают два из них, $e^{ipi/4}$ и $e^{i3pi/4}$. Значения вычета функции f(z) / g(z) в простом полюсе z=z0, если f(z) не имеет особенностей в точке z0, а g(z) дифференцируема, вычисляются по формуле f(z0) / g'(z0).

$displaystyleointdots=2pi i sum_j mathop{mathrm{res}}limits_{z=z_j}frac{e^{iz}}{1+z^4}=2pi ileft(frac{e^{frac 1{sqrt2}(-1+i)}}{4(e^{ipi/4})^3}+frac{e^{frac 1{sqrt2}(-1-i)}}{4(e^{i3pi/4})^3}right)=\=frac{e^{-1/sqrt2}pi i}2left(e^{ileft(frac 1{sqrt2}-frac{3pi}4right)}+e^{ileft(frac {-1}{sqrt2}-frac{pi}4right)}right)$

$displaystyleint_{-infty}^{infty}frac{cos x,dx}{1+x^4}=mathop{mathrm{Re}}lim_{Rtoinfty}int_{-R}^Rfrac{e^{iz},dz}{1+z^4}=mathop{mathrm{Re}}lim_{Rtoinfty}oint_{C_R}frac{e^{iz,dz}}{1+z^4}=\=mathop{mathrm{Re}}frac{e^{-1/sqrt2}pi i}2left(e^{ileft(frac 1{sqrt2}-frac{3pi}4right)}+e^{ileft(frac {-1}{sqrt2}-frac{pi}4right)}right)=$
$displaystyle=-frac{e^{-1/sqrt2}pi}2mathop{mathrm{Im}}left(e^{ileft(frac 1{sqrt2}-frac{3pi}4right)}+e^{ileft(frac {-1}{sqrt2}-frac{pi}4right)}right)=\=-frac{e^{-1/sqrt2}pi}2left(sinleft(frac1{sqrt2}-frac{3pi}4right)-sinleft(frac1{sqrt2}+fracpi4right)right)=\=frac{e^{-1/sqrt2}pi}{sqrt2}left(sinleft(frac1{sqrt2}right)+cosleft(frac1{sqrt2}right)right)$