Question

Вычислить момент инерции однородного тела V , заданного следующими поверхностями:
$x^{2}+z^{2} =y$; y = 2 относительно оси OY

Answer 1

Ответ:

• Момент инерции однородного тела равен $\displaystyle \frac{4}{3} \pi$

Пошаговое объяснение:

Построим тело, ограниченное заданными поверхностями (см. приложение). $x^2+z^2=y$ - параболоид, направленный вдоль оси Oy, $y=2$ - плоскость.

Момент инерции относительно оси Oy найдем следующим образом:

$\displaystyle I_y=\iiint\limits_V {(x^2+z^2)\gamma(x,y,z)} \, dxdydz$

Поскольку тело однородное, то $\gamma(x,y,z)=1$.

Перейдем к цилиндрической системе координат, расставим пределы интегрирования и посчитаем интеграл:

$\displaystyle I_y=\iiint\limits_V{(x^2+z^2)}\,dxdydz=\left|\begin{array}{ccc}z=\rho cos\varphi\\x=\rho sin\varphi\\y=y;J=\rho\end{array}\right|=\\=\iiint\limits_V((\rho sin\varphi)^2+(\rho cos\varphi)^2)\rho d\varphi d\rho dy=\iiint\limits_V \rho^3d\varphi d\rho dy=\\=\int\limits^{2\pi}_0d\varphi \int\limits^{\sqrt{2}} _0 d\rho\int\limits^2_{\rho ^2} {\rho^3}\, dy =2\pi \int\limits^{\sqrt{2}} _0\rho ^3d\rho \cdot (2-\rho ^2)=$

$\displaystyle =2\pi \int\limits^{\sqrt{2}}_0(2\rho ^3-\rho ^5)d\rho=2\pi \bigg(\frac{\rho^4}{2}-\frac{\rho^6}{6} \bigg)\bigg|^{\sqrt{2}} _0= \\=\pi\bigg((\sqrt{2})^4-\frac{(\sqrt{2} )^6}{3}\bigg)=\pi\bigg(4-\frac{8}{3} \bigg)=\boxed{\frac{4}{3}\pi}$

Примечание:

Разберемся, откуда взялись такие пределы интегрирования:

1) Поскольку проекция тела на плоскость zOx лежит во всех четвертях, то полярный угол лежит в пределах $0 < \varphi \leq 2\pi$.

2) Пересечением параболоида $x^2+z^2=y$ и плоскости $y=2$ является окружность, причем с полярным радиусом $\rho =\sqrt{2}$. Отсюда и получается, что $0\leq \rho\leq \sqrt{2}$.

3) Теперь надо хорошо усвоить, как находить уравнение поверхности в полярной системе координат.

В декартовой системе координат уравнение параболоида $x^2+z^2=y$, но чтобы найти уравнение в полярной, в нашем случае надо вместо $x$ подставить $x=\rho sin \varphi$ и вместо $z$ подставить $z=\rho cos\varphi$:

$(\rho sin \varphi)^2+(\rho cos \varphi)^2=y\\\rho ^2(sin^2\varphi +cos^2\varphi)=y\\y=\rho ^2$

Вот мы и получили уравнение параболоида в полярной системе координат.

Уравнение плоскости никак не поменяется: $y=2$.

Теперь образно встанем под поверхностями и посветим лазером вверх. Луч сначала пересечет параболоид, а потом плоскость $y=2$. Значит, в нижний предел интегрирования запишется $\rho ^2$, а в верхний - $2$, то есть $\rho ^2\leq y\leq 2$.

#SPJ1