Question

Вычислить: (1+i*sqrt3)^15
P.S. i - мнимая единица, sqrt3 - корень из 13, скобка в 15 степени.

Answer 1

Чтобы возвести комплексное число в любую степень, надо преобразовать его в тригонометрическую форму:
А для этого выполним следующее:
1) Найдем модуль этого числа по формуле:
$r=sqrt{a^2+b^2}$
$r=sqrt{1^2+sqrt{13}^2}=sqrt{14}$
2) Найдем аргумент к.ч. :
$cos(phi)=frac{a}{r}$
$cos(phi)=frac{1}{sqrt{14}}=frac{sqrt{14}}{14}$
$sin(phi)=frac{b}{r}$
$sin(phi)=frac{sqrt{13}}{sqrt{14}}=sqrt{frac{13}{14}}$
3) Теперь представляем его в тригоном. форме:
$z=sqrt{14}(cosfrac{sqrt{14}}{14}+sinsqrt{frac{13}{14}}i)$
4) Теперь возведем в 15 степень:
$z^{15}=15sqrt{14}(cosfrac{15sqrt{14}}{14}+sinfrac{15sqrt{182}}{14}i)$