Question

Вычеслите предел последовательности

Answer 1

понадобиться формула разности кубов:
a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)
в нашем случае
а=∛n
b=∛(n-1)

Чтобы избавиться от неопределенности вида {∞-∞}, домножим числитель на выражение, чтобы получилась разность кубов и сразу же разделим на это выражение, чтобы результат не изменился

$lim_{n to infty} ( sqrt[3]{n} - sqrt[3]{n-1} )={ infty-infty}= \ \ lim_{n to infty} frac{( sqrt[3]{n} - sqrt[3]{n-1} )( sqrt[3]{n^2} +sqrt[3]{n} * sqrt[3]{n-1} +sqrt[3]{(n-1)^2})}{( sqrt[3]{n^2} +sqrt[3]{n} * sqrt[3]{n-1} +sqrt[3]{(n-1)^2})}= \ \ lim_{n to infty} frac{(sqrt[3]{n} )^3- (sqrt[3]{n-1})^3}{( sqrt[3]{n^2} +sqrt[3]{n} * sqrt[3]{n-1} +sqrt[3]{(n-1)^2})} =$

$lim_{n to infty} frac{n-n+1}{ sqrt[3]{n^2} +sqrt[3]{n} * sqrt[3]{n-1} +sqrt[3]{(n-1)^2}} = lim_{n to infty} frac{1}{sqrt[3]{n^2} +sqrt[3]{n} * sqrt[3]{n-1} +sqrt[3]{(n-1)^2}} = \ \ = frac{1}{infty} =0$