Question

Возведите в степень:
$(a^{2}x sqrt[3]{3 a^{2}x})^{4}$

Источник: Крамор В.С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начала анализа, М., 1990, с. 66 (тема: преобразование арифметических корней)

пытался решить так:
$(a^{2}x sqrt[3]{3 a^{2}x})^{4} = a^{8}x^{4}sqrt[3]{3^{3}3a^{3}a^{3}a^{2}x^{3}x}= \ =a^{8}x^{4}3a^{2}|x| sqrt[3]{3xa^{2}}=3a^{10}|x^{5}| sqrt[3]{3a^{2}x}.$

хотелось бы спросить верно ли такое решение, и ещё вот пара вопросов:
1) ранее автор указывал, что в школьном курсе рассматривается только арифметическое значение корня (указ. соч., с. 58), означает ли тогда (раз корень арифметический, т.е. рассматриваются только положительные значения корня), что корень третьей степени из x в кубе равен модулю x?
$sqrt[3]{x^{3} } = |x|$
2) модуль x умноженный на x в четвёртой степени равен ли модулю x в пятой степени?
$|x| x^{4} =| x^{5} |$

Answer 1

Арифметические корни рассматриваются только для корней чётной степени (квадратных, например).Они должны иметь неотрицательное значение и подкоренное выражение может быть только неотрицательным. А корни нечётных степеней могут извлекаться и из отрицательных выражений и сами могут принимать отрицательные значения. Поэтому в вашем примере никаких модулей писать не надо, т.к. корень 3 степени.

$sqrt[3]{x^3}=x\\|x|x^4= left { {{x^5,; esli; x geq 0,} atop {-x^5,; esli; x<0.}} right. \\(a^2xsqrt[3]{3a^2x})^4=a^8x^4sqrt[3]{3^4a^8x^4}=a^8x^4sqrt[3]{3^3cdot 3cdot a^6cdot a^2cdot x^3cdot x}=\\=a^8x^4cdot 3cdot a^2cdot xsqrt[3]{3a^2x}=3a^{10}x^5sqrt[3]{3a^2x}$

$sqrt[2n]{a^{2n}}=|a|$

$sqrt[3]{-8}=-2$

Answer 2

... впрочем это уже совершенно другие вопросы и их, возможно, надо задавать отдельно, новым вопросом, в любом случае, здесь для меня самое главное было разобраться с модулями, и ваш ответ мне в этом помог, спасибо...

Answer 3

Да, это алгебраический корень. Но точно так же можно определить понятие арифм. кубического корня, как и для квадратного корня: арифм. кубическим корнем из НЕОТРИЦАТЕЛЬНОГО числа а называется такое НЕОТРИЦАТЕЛЬНОЕ число, куб которого равен а. Арифм корень был введён потому, что для алгебраических квадратных корней нет однозначности. Например, 3^2=9 и (-3)^2=9.Поэтому как определить, sqrt9=+3 или sqrt9=-3 ? Вот и ввели понятие арифм. квадр. корня (и вообще арифм.корня чётной степени)

Answer 4

как НЕОТРИЦАТЕЛЬНОЕ число.

Answer 5

... примерно понятно: т.е. арифметический корень вводится для устранения двузначности, спасибо...

Answer 6

... всё-таки не удержался, и задал вопрос отдельно на до-понимание отдельных моментов; там я, извиняюсь, кое в чём повторяюсь, на что вы уже ответили, возможно, такая "перестраховочность" совершенно излишня...