Математика, вопрос задал kaisarakimzhan , 2 года назад

Возможно ли вычеслить интеграл от y=sqrt(x), не используя дробную степень?
Просто интересно.

NNNLLL54: заменой

kaisarakimzhan: А разве заменой мы не получам еще более сложное выражение для интеграции?

NNNLLL54: нет , t=sqrtx

NNNLLL54: см. решение

kaisarakimzhan: знаю. просто вместо t я решил использовать u как замену. Это ничего не меняет. Просто я вместо того что бы возводить обе части в квадрат, оставил все как есть, и в итоге получил все тот же корень только теперь умноженный на 2 плюс еще и на х.

Ответы на вопрос

Ответил NNNLLL54

$\int \sqrt{x}\, dx=\Big[\ t=\sqrt{x}\ ,\ x=t^2\ ,\ dx=2t\, dt\ \Big]=\int t\cdot 2t\, dt=2\cdot \int t^2\, dt=\\\\\\=2\cdot \dfrac{t^3}{3}+C=\dfrac{2}{3}\cdot (\sqrt{x})^3+C=\dfrac{2}{3}\cdot \sqrt{x^3}+C$

kaisarakimzhan: спасибо за ответ. Я заменил корень из х просто на u и все. По этому у меня ничего не вышло. Большое спасибо еще раз!

NNNLLL54: если заменяешь переменную, то надо выразить и дифференциал от этой переменной через дифференциал от старой переменной

kaisarakimzhan: спасибо. я это знаю. Как и говорил я забыл про возведение в квадрат. По этому у меня u= sqrtx, dx=2sqrtx*du

kaisarakimzhan: вот где была моя ошибка.

NNNLLL54: u'=(sqrtx)'=1/(2sqrtx)

NNNLLL54: ...вы ещё и производную неверно нашли, тогда можно и так сделать: u=sqrtx , du=dx/(2sqrtx) --> dx=2sqrtx*du --> sqrtx*dx=sqrtx*(2sqrtx)*du=2(sqrtx)^2*du=2u^2*du ...всё равно получаем тот же интеграл...

kaisarakimzhan: хорошо. спасибо что отметили.

kaisarakimzhan: ой я оказывается не правильно выразился. Я просто все заменил, и поменчл dx на du*2sqrtx. И оставил это все как есть, не подумав что можно просто умножить: I(sqrtx*2sqrtx)du. И дальше нормально решать.

kaisarakimzhan: Благодарю что просветили меня. Надеюсь больше не совершать таких глупых ошибок.