Возьмём куб, удалим случайным образом две его вершины и все рёбра, из них исходящие.
Каково математическое ожидание числа оставшихся рёбер? Ответ в виде обыкновенной
дроби.
Ответы на вопрос
Сперва убираем одну вершину. Любую. Сразу убирается 3 ребра. Остается еще 9.
Любая вершина куба может иметь с любой другой вершиной максимум одно общее ребро. Поэтому дальше варианты: мы можем убрать либо вершину, которая имела общее ребро с уже удаленной вершиной, или нет.
Вершин с каки-либо общим ребром всего 3 - по одной вершине на каждое. При удалении такой вершины мы лишаемся еще 2 ребер.
Вершин, которые общих ребер не имеют - 8 - 3 - 1 = 4 штуки. При удалении - лишаемся еще 3 ребер.
Вероятность выбрать вершину без общего ребра - 4/7, с общим ребром - 3\7.
Посчитаем матожидание удаленных ребер. 3\7 * 2 + 4\7 * 3 = 18 \ 7
Поскольку ребер всего 12, 3 мы убираем с первой вершиной, и еще 18\7 - со второй, то матожидание оставшихся вершин равно 9 - 18\7 = 45 \ 7