Question

Визначте суму всіх цілих значень параметра а, за яких один корінь рівняння 2x² - (4a + 9)x + 6a + 9 = 0 належить проміжку (-8; 0), а другий - проміжку (1; 5). ​

Answer 1

Ответ:

Сумма всех целых значений параметра а, при которых один корень уравнения 2·x² – (4·a + 9)·x + 6·a + 9 = 0 принадлежит промежутку (–8; 0), а второй – промежутку (1; 5), равна –14

Пошаговое объяснение:

Перевод: Определите сумму всех целых значений параметра а, при которых один корень уравнения 2·x² – (4·a + 9)·x + 6·a + 9 = 0 принадлежит промежутку (–8; 0), а второй – промежутку (1; 5).

Решение. По условию заданное квадратное уравнение должен иметь 2 различных корня. Это может быть в случае, когда дискриминант квадратного уравнения положительно. Исходим из этого:

D = (–(4·a + 9))²–4·2·(6·a+9) = 16·a²+72·a+81–48·a–72 =

= 16·a²+24·a+9 = (4·a+3)² > 0 ⇔ a ≠ –0,75.

Находим корни уравнения:

$\tt \displaystyle x_1=\frac{4 \cdot a+9-\sqrt{(4 \cdot a+3)^2 } }{2 \cdot 2} =\frac{4 \cdot a+9-|4 \cdot a+3| }{4} ,\\\\ x_2=\frac{4 \cdot a+9-\sqrt{(4 \cdot a+3)^2 } }{2 \cdot 2} =\frac{4 \cdot a+9+|4 \cdot a+3| }{4},$

и очевидно, x₁ < x₂.

1) Пусть a < –0,75. Тогда |4·a + 3| = –(4·a + 3), следовательно

$\tt \displaystyle x_1=\frac{4 \cdot a+9-|4 \cdot a+3| }{4} =\frac{4 \cdot a+9+4 \cdot a+3 }{4} =\frac{8 \cdot a+12}{4} =2 \cdot a+3,\\\\ x_2=\frac{4 \cdot a+9-4 \cdot a-3 }{4}=\frac{6}{4}=1,5.$

По условию должен быть x₁∈(–8; 0) и x₂∈(1; 5). Так как x₂ = 1,5∈(1; 5), то остаётся исследовать первый корень:

–8 < 2·a+3 < 0 ⇔ –11 < 2·a < –3 ⇔ –5,5 < a < –1,5.

Так как –1,5 < –0,75, то все условия выполняются. Найдём целые значения параметра а: –5, –4, –3, –2, а сумму равна –14.

2) Пусть a > –0,75. Тогда |4·a + 3| = 4·a + 3, следовательно

$\tt \displaystyle x_1=\frac{4 \cdot a+9-|4 \cdot a+3| }{4} =\frac{4 \cdot a+9-4 \cdot a-3 }{4} =\frac{6}{4} =1,5,\\\\ x_2=\frac{4 \cdot a+9+4 \cdot a+3 }{4}=\frac{8 \cdot a+12}{4}=2 \cdot a +3.$

По условию должен быть x₁∈(–8; 0) и x₂∈(1; 5). Но x₁ = 1,5 ∉ (–8; 0), и поэтому других решений нет.

#SPJ1