Question

Виріште, будь-ласка, рівняння по логарифмам

$2 log_{5} (x + 1) - log_{5} (x + 9) = log_{5} (3x - 17).$

Answer 1

Ответ:

x=36

1) log5 x = 2log5 3 + 4 log25 2;

log5 x = log5 3² + 2log5² 2²; log5 x = log5 9 + log5 4;

log5 x = log5 (9.4); log5 x = log5 36;

Oтвет: x 36.

Answer 2

$2 \log_{5}(x + 1) - \log_{5}(x + 9) = \log_{5}(3x - 17).$

ОДЗ:

{х+1>0.

{х+9>0.

{3х-17>0.

х ∈ (17/3; +∞).

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

$\log_{5} \bigg((x + 1) {}^{2} \bigg) - \log_{5}(x + 9) = \log_{5}(3x - 17). \\ \log_{5} \bigg( \frac{(x + 1) {}^{2} }{x + 9} \bigg) = \log_{5} (3x - 17). \\ \frac{(x + 1) {}^{2} }{x + 9} = 3x - 17. \\ \frac{x {}^{2} + 2x + 1 }{x + 9} = 3x - 17. \: \: \: \: \bigg | \cdot(x + 9). \\ x {}^{2} + 2x + 1 = (3x - 17)(x + 9). \\ x {}^{2} + 2x + 1 - (3x - 17)(x + 9) = 0. \\ x {}^{2} + 2x + 1 - (3x {}^{2} + 27x - 17x - 153) = 0. \\ x {}^{2} + 2x + 1 - (3x {}^{2} + 10x - 153) = 0. \\ x {}^{2} + 2x + 1 - 3x {}^{2} - 10x + 153 = 0. \\ - 2x {}^{2} - 8x + 154 = 0. \: \: \: \: \bigg | \cdot( - 2).\\ x {}^{2} + 4x - 77 = 0.$

По т. Виета:

$x_{1} \cdot x_{2} = - 77. \\ x_{1} + x_{2} = - 4.$

Откуда, х=-11 и х=7. Но корень х=-11 не подходит по ОДЗ.

Ответ: х=7.