Question

Вариант 1
1. Дайте определение криволинейной трапеции.
2. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
a) f(x) = √x-1+2, y= 0, x = 1, x = 5;
б) f(x) = cos.x + 3, y = 0, x = 0, x = 2л.
Вариант 2
1. Сформулируйте теорему о площади криволинейной трапеции.
2. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
a) f(x) = √2-x +1, y= 0, x= 2, x = -7;
б) f(x) = sin x+4, у=0, х = 0, x=П

СРОЧНО ВЫРУЧАЙТЕ

Answer 1

Ответ:

площа фігури, обмеженої лініями f(x) = cos(x) + 3, y = 0, x = 0, x = 2π,

Пошаговое объяснение:

Криволінійна трапеція - це чотирикутник з двома паралельними сторонами, при цьому одна або обидві паралельні сторони є криволінійними.

Розрахунок площі фігури, обмеженої наведеними лініями:

a) f(x) = √(x-1) + 2, y = 0, x = 1, x = 5;

Спершу знайдемо точки перетину функції і осі X:

√(x-1) + 2 = 0

√(x-1) = -2

x - 1 = 4 (позбуваємось кореня)

x = 5

Таким чином, функція перетинає ось X при x = 5.

Зараз ми можемо обчислити площу між графіком функції та осі X на відрізку від x = 1 до x = 5. Це можна зробити, використовуючи інтеграл:

S = ∫[1, 5] (√(x-1) + 2) dx

S = ∫[1, 5] (√(x-1)) dx + ∫[1, 5] 2 dx

Обчислімо ці інтеграли окремо:

∫(√(x-1)) dx = (2/3) * (x - 1)^(3/2) + C

∫2 dx = 2x + C

Тепер підставимо межі інтегрування:

S = (2/3) * (5 - 1)^(3/2) + 2 * 5 - [(2/3) * (1 - 1)^(3/2) + 2 * 1]

S = (2/3) * 4^(3/2) + 10 - [(2/3) * 0 + 2]

S = (2/3) * 8 + 10 - 2/3

S = 16/3 + 10 - 2/3

S = 24/3 + 30/3 - 2/3

S = 52/3 квадратних одиниць.

б) f(x) = cos(x) + 3, y = 0, x = 0, x = 2π;

Функція cos(x) має період 2π, тобто одна повна хвиля. Тому, щоб знайти площу під графіком cos(x) на відрізку [0, 2π], достатньо знайти площу одного періоду і потім помножити на кількість повних періодів на цьому відрізку.

Площа під графіком cos(x) на відрізку [0, 2π] дорівнює нулю, оскільки інтеграл ∫cos(x) dx з 0 до 2π дорівнює нулю.