Question

В треугольнике `ABC` его медианы `A A_1`, `B B_1` и `C C_1` пересекаются в точке `O`. Середины отрезков `OA`, `OB` и `OC` обозначены соответственно `A_2`, `B_2` и `C_2`. Выразите периметр шестиугольника `A_2C_1B_2A_1C_2B_1`  через медианы `m_a=A A_1`, `m_b=B B_1`, `m_c=C C_1`.

ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА . ДАЮ 20 БАЛЛОВ. ДАЙТЕ ПОЖАЛУЙСТА ПОЛНОЕ РЕШЕНИЕ

Answer 1

Медианы в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.

$AO=\frac{2}{3} m_{a}$

$BO=\frac{2}{3} m_{b}$

$CO=\frac{2}{3} m_{c}$

$A_{2}C_{1}$   и   $A_{1}C_{2}$ -  средние линии треугольников  АОВ и ВОС

$A_{2}C_{1}|| A_{1}C_{2}||BO$

$A_{2}C_{1}$   =   $A_{1}C_{2}$   =  $\frac{1}{2} BO=\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3} m_{b}=\frac{1}{3} m_{b}$

$B_{1}A_{2}$   и   $B_{2}A_{1}$ -  средние линии треугольников  АОС и ВОС

$B_{1}A_{2}|| B_{2}A_{1}||CO$

$A_{2}C_{1}$   =   $A_{1}C_{2}$   =  $\frac{1}{2} CO=\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3} m_{c}=\frac{1}{3} m_{c}$

$C_{1}B_{2}$   и   $C_{2}B_{1}$  -  средние линии треугольников  АОВ и АОС

$C_{1}B_{2}|| C_{2}B_{1}|| AO$

$A_{2}C_{1}$   =   $A_{1}C_{2}$   =  $\frac{1}{2} AO=\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3} m_{b}=\frac{1}{3} m_{a}$

$P=2\cdot (\frac{1}{3} m_{a}+\frac{1}{3} m_{b}+\frac{1}{3} m_{c})$