Question

В трапеции ABCD меньшее основание BC равно 5, а диагональ BD равна 16. Биссектриса угла CBD пересекает диагональ AC в точке K такой, что CK:AK=1:6. Найдите длину основания AD.


Помогите, пожалуйстааааа!!

Answer 1

Ответ:

Длина основания AD равна 14 ед.

Объяснение:

В трапеции ABCD меньшее основание BC равно 5, а диагональ BD равна 16. Биссектриса угла CBD пересекает диагональ AC в точке K такой, что CK:AK=1:6. Найдите длину основания AD.

Дано: ABCD - трапеция;

ВС = 5; BD = 16;

ВМ - биссектриса ∠CBD;

BM ∩ AC = K;   CK : AK = 1 : 6;

Найти: AD

Решение:

Проведем ЕК || ВС.

1. CK : AK = 1 : 6   ⇒   СК : СА = 1 : 7

2. Рассмотрим ΔDBC

BM - биссектриса.

• Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону в отношении, равном отношению двух прилежащих сторон.

⇒ МС : МD = СВ : BD = 5 : 16

Пусть МС = 5х, тогда МК = 16х, а СD = 21x.

3. Рассмотрим ∠ACD.

КЕ || AD  (построение)

• Если на одной стороне отложить отрезки и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие другую сторону, то на другой стороне угла отложатся отрезки, пропорциональные данным.

⇒ СЕ : ED = CK : KA = 1 : 6

или СЕ : СD = 1 : 7

$\displaystyle \frac{CE}{21x}=\frac{1}{7}\;\;\;\Rightarrow \;\;\;\bf CE=\frac{21x}{7}=3x$

4. Рассмотрим ΔКЕМ и ΔВСМ.

КЕ || ВС (построение)

• Если две стороны треугольника пересекает прямая, параллельная третьей стороне, то она отсекает треугольник, подобный данному.

⇒ ΔКЕМ ~ ΔВСМ.

MC = 5x; ME = MC - CE = 5x - 3x = 2x.

Запишем отношения сходственных сторон:

$\displaystyle \frac{ME}{MC}=\frac{EK}{CB} \\\\\frac{2x}{5x}=\frac{EK}{5}\;\;\;\Rightarrow \;\;\;\bf EK=\frac{2x\cdot5}{5x}=2$

5. Рассмотрим ΔКСЕ и ΔACD.

KE || AD

⇒ ΔКСЕ ~ ΔACD

Запишем отношения сходственных сторон:

$\displaystyle \frac{CK}{CA}=\frac{KE}{AD} \\\\\frac{1}{7}=\frac{2}{AD}\;\;\;\Rightarrow \;\;\;\bf AD=14$

Длина основания AD равна 14 ед.

#SPJ1

Answer 2

Ответ:  Длина основания AD = 14 (ед)

Объяснение:

Обозначим  AK =  6x ,   а   EK =  w ⇒  AE = 6x -w ,  также пусть BE = z ⇒  
ED = 16 - z

Рассмотрим ΔBCD , поскольку  биссектриса BF  делит его противоположную сторону на два отрезка, длины которых пропорциональны соответствующим прилежащим сторонам треугольника ⇒

$\dfrac{CF}{DF} =\dfrac{BD}{BC}= \dfrac{5}{16} \Rightarrow \\\\ DF = 16y ~ , ~ CF = 5y$

Теперь на этом же Δ-ке  ,  применяем теорему Менелая  , начиная со стороны BE

$\displaystyle \frac{BE}{BD} \cdot \frac{DF}{CF} \cdot \frac{CK}{KE} = 1 \\\\\\\ \frac{z}{16}\cdot \frac{16y}{5y} \cdot \frac{x}{w} = 1 \\\\\\ \frac{xz}{5w}= 1 \\\\\\ \boxed{xz = 5 w}$

Поскольку нам дана трапеция , то треугольники   ABE и  DEC имеют равную площадь , и т.к   ∠BEA  =  ∠ CEA как вертикальные  

Тогда По формуле  $S_{\triangle } =\dfrac{1}{2}ab \cdot \sin \alpha$

$\displaystyle S_{\triangle ABE} =S_{\triangle DEC} \\\\ \frac{1}{2}\cdot BE \cdot AE \cdot \sin \angle BEA= \frac{1}{2}\cdot CE \cdot ED \cdot \sin \angle CEA \\\\\\ BE \cdot AE \cdot \sin \angle CEA=CE \cdot ED \cdot \sin \angle CEA \\\\ BE \cdot AE = ED\cdot EC \\\\ z \cdot (6x - w)= (16-z)(x + w) \\\\ 6xz - zw = 16x - xz + 16 w - zw \\\\ 7xz = 16 w + 16x$

Подставим   xz = 5w
7·5w  = 16w + 16x

35w = 16w + 16x

19w = 16x

$\boxed{w = \dfrac{16}{19}x}$

То что мы вывели подставим в  xz = 5w
$xz =5\cdot \dfrac{16}{19}x \\\\\\ \boxed{z = \dfrac{80}{19} }$

$\Rightarrow ED = 16-z = 16 - \dfrac{80}{19}= \dfrac{224}{19}$

В силу того , что  BC ║ AD  ,  диагонали BD и AC  будут отсекать два подобных треугольника ΔBEC ≅ ΔAED

∠EAD = ∠ECB  и  ∠CBE  = ∠EDA  как соответственные углы

⇒ по свойству подобия :

$\displaystyle \dfrac{5}{z} = \dfrac{AD}{16 -z} \\\\\\ \dfrac{5}{\dfrac{80}{19} } = \frac{AD}{\dfrac{224}{19} } \\\\\\\ 80AD = 224\cdot 5 \\\\ 80AD = 1120 \\\\ \boxed{AD = 14}$

#SPJ1