Question

В ромбе ABCD со стороной a угол при вершине A равен 2пи/3, точки E и F лежат на сторонах BC и AD соответственно. Отрезок EF и диагональ ромба AC пересекаются в точке M. Площади четырёхугольников BEFA и ECDF относятся как 1:2. Найдите EM, если AM:MC=1:3

Ответ в задаче вроде:(а*корень из 7)/4 . Необходимо подробное решение. Спасибо

Answer 1

Положим что сторона ромба равна $a$ , тогда  треугольник  $ADC$ правильный так как угол  $ADC=180-120=60$ .
Треугольники  $AMF;EMC$ подобны по углам. 
Пусть $AF=x$ $EC=y$  
то $x=3y$ 
Получим трапеций $BEFA;ECDF$ площади которых равны 
$frac{ (frac{2x}{3}+a)h}{2}=2S\ frac{(a-2x/3)*h}{2}=S\\ a=2x$ 
Тогда $MC=frac{3a}{4}$ 
по теореме косинусов 
$EM=sqrt{frac{9a^2}{16}+frac{a^2}{4}-2*frac{3a}{4}*frac{a}{2}*cos60}=frac{sqrt{7}a}{4}$