Question

в равнобедренной трапеции ABCD, меньшее основание AB = 8 см, высота AF = 6 см, и велечины острого угла 45°. вычислите велечины углов, длина большего основания и средней линии

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

AB = 8 см, высота AF = 6 см.

Так как угол A равен 45°, то угол B также равен 45°.

Из теоремы Пифагора в прямоугольном треугольнике AFB найдем длину боковых сторон AF и BF:

$BF = \sqrt{AB ^2 + AF ^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \ sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$ см

Для нахождения угла C воспользуемся теоремой косинусов в треугольнике BCD:

$BC^2 = CD^2 + BD^2 - 2 \cdot CD \cdot BD \cdot cos(C) $

Так как трапеция равнобедренная, то CD = AB = 8 см, а BD равна половине длины основания трапеции. То есть $BD = \frac{BC - AB}{2} = \frac{BC-8}{2}$.

Подставим эти значения в формулу и получим:

$BC^2 = 8 ^2 + \left(\frac{BC-8}{2}\right) ^2 - 2 \cdot 8 \cdot \left (\frac{BC-8}{2}\right) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$BC^ 2 = 64 + \frac{BC^2 - 16BC + 64}{4} - 8(BC - 8)$

$ 4BC ^ 2 = 256 + BC ^2 - 16BC + 64 - 32BC + 256$

$ 3BC ^ 2 - 48BC + 576 = 0 $

$BC^2 - 16BC + 192 = 0$

Решим квадратное уравнение:

$BC_{1,2} = \frac{16 \pm \sqrt{16^2-4 \cdot 1 \cdot 192}}{2 \cdot 1} = 8 \pm 4 \sqrt{7}$

Так как большее основание нельзя иметь отрицательную длину, то выбираем положительный корень:

$BC = 8 + 4\sqrt{7}$ см

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований:

$ MN = \ frac{AB + BC}{2} = \frac{8 + (8 + 4 \sqrt{7})}{2} = 4 + 2\ sqrt{7}$ см

Таким образом, углы А, В равны 45 градусов, угол С равен 90 - $45 = 45$ градусов. Большее основание равно $8 + 4\sqrt{7}$ см и средняя линия равна $4 + 2\sqrt{7}$ см.