Question

В прямоугольном треугольнике ABC (угол C = 90 гр.) медианы ВМ и СК пересекаются в точке О. Из точки С на ВМ опущен перпендикуляр СЕ так, что МЕ = 20 см. Найдите гипотенузу АВ, если МС = 30 см, точка О лежит на отрезке МЕ.

Answer 1

ΔBCM ~ ΔCEM по двум углам (∠BCM=90°=∠CEM и ∠BMC - общий), поэтому $dfrac{CM}{BM} =dfrac{EM}{CM}$.

Откуда BM = 900:2 = 45см

BE = BM-EM = 45-20 = 25см

В прямоугольном треугольнике CEM (∠E=90°):

по теореме Пифагора CE²=CM²-EM²=900-400=500см².

В прямоугольном треугольнике BEC (∠E=90°):

по теореме Пифагора BC²=BE²+CE²=625+500=1125см².

AC=2·MC=60см т.к. M - середина AC.

В прямоугольном треугольнике BCA (∠C=90°):

по теореме Пифагора AB²=BC²+AC²=1125+3600=4725см².

AB=$displastyle sqrt{4725}=sqrt{25cdot 9cdot 21}=15sqrt{21}$ см

Ответ: 15√21 см.