В прямоугольном треугольнике ABC с углом A, равным 30◦ , к гипотенузе AC поведена высота BH. На стороне BC выбрана точка K так, что KC = HC. Лучи AB и HK пересекаются в точке N. Найдите отношение отрезков AH и KN.
Ответы на вопрос
Ответ: 3:2
Объяснение: Треугольник КСН равнобедреный с углом С=60 градусов в вершине являтеся равносторонним значит СН=СК. В прямоугольном треугольнике СВН катет СН лежит против угла 30 градусов, значит равен половине своей гипотенузы, отсюда СВ =2 СН, а учитывая, что СК=СН, получаем, что КВ=СК=СН. В треугольнике NКВ угол К=60 градусов как вертикальный с углом СКН, значит угол КNВ равн 30 градусов и катет КВ= половине NК, а NК=2КВ=2СН. Итак, мы выразили КN через СН. Выразим теперь АН через СН и потом найдем их отношение, в котором СН сократиться. Но СН и АН связаны друг с другом высотой ВН, квадрат которой равен произведению СН и АН. Дополнитльная связь отдельно между СН и ВН находится в прямоугольном треугольнике СВН: Отношение ВН к СН равно тангенсу 60 градусов , то есть корню квадратному из числа 3. Итак, ВН равно СН умноженное на корень квадратный из числа 3. Согласно теореме о том, что квадрат ВН равен произведнию СН на АН, находим соотношение между АН и СН: АН=3СН. Итак, подводим итог, АН=3СН, КN=2СН, из отношение равно 3:2.