Question

В прямоугольном параллелепипеде диагональ равна а и образует с основанием угол β. Угол между диагональю основания и ее стороной равен α. Найдите боковую поверхность параллелепипеда.

Answer 1

Ответ: $asqrt{2}sin2betasinleft(alpha+dfrac{pi}{4}right)$ кв. ед.

Объяснение:

Из прямоугольного треугольника ACC₁:

$sin beta=dfrac{CC_1}{AC_1}~~~~Longleftrightarrow~~~~ CC_1=AC_1sin beta=asin beta\ \ cos beta=dfrac{AC_1}{AC_1}~~~~Longleftrightarrow~~~~ AC=AC_1cos beta=acos beta$

Из прямоугольного треугольника ACD:

$sin alpha=dfrac{CD}{AC}~~~~Longleftrightarrow~~~~ CD=ACsin alpha=asinalpha cosbeta\ \ cos alpha=dfrac{AD}{AC}~~~~Longleftrightarrow~~~~ AD=ACsin alpha=acosalpha cosbeta$

Площадь боковой поверхности параллелепипеда:

$S_{6ok}=P_{oc_H}cdot h=2(asinalpha cosbeta+acosalphacosbeta)cdot asinbeta=\ \ =2acosbetasinbeta(sinalpha+cosalpha)=asqrt{2}sin2betasinleft(alpha+dfrac{pi}{4}right)$

Answer 2

Ответ:

2a²sin²(β)*cos(β) *(cos(α) + sin(α) )

Объяснение:

ΔB1BD:

B1B=B1D*sin(β) = a *sin(β)

BD= B1D*cos(β)= a *sin(β)*cos(β)

ΔBAD:

BA=BD*sin(α) = a *sin(β)*cos(β)*sin(α)

AD=BD*cos(α)= a *sin(β)*cos(β)*cos(α)

S AA1D1D = B1B*AD = a *sin(β)*a *sin(β)*cos(β)*cos(α)=

=a²*sin²(β)*cos(β)*cos(α)

S AA1B1B = B1B*BA =  a *sin(β)*a *sin(β)*cos(β)*sin(α)=

=a² *sin²(β)*cos(β)*sin(α)

Sбок = 2(a²*sin²(β)*cos(β)*cos(α)+a² *sin²(β)*cos(β)*sin(α))=

=2a²sin²(β)*cos(β) *(cos(α) + sin(α) )