Question

В прямокутному трикутнику АВС з прямим кутом при вершині С проведена
бісектриса BD. Знайдіть величину кута CDB, якщо
∠BAC= 36

Answer 1

Ответ:

Візьмемо вершину А як початок координат та позначимо довжини сторін АВ та АС відповідно х та y. Тоді за теоремою Піфагора маємо:

x^2 + y^2 = AC^2 = (AB)^2 + (BC)^2

А також за теоремою косинусів:

cos(36^o) = AB/AC = x/y

Виразуючи AC через x і y і використавши рівняння косинусів, ми отримуємо:

y^2 = x^2 + y^2 - 2xycos(36^o)

2xycos(36^o) = x^2

x = y*sqrt(3)/2

Тепер використаємо рівняння трикутника:

x^2 + y^2 = AC^2 = (AB)^2 + (BC)^2

y^2 = (AB)^2 + (BC)^2 - x^2

y^2 = (AB)^2 + (BC)^2 - y^2*3/4

(8/4)y^2 = (AB)^2 + (BC)^2

2y^2 = (AB)^2 + (BC)^2

y^2 = (AB)^2/2 + (BC)^2/2

Тепер використаємо теорему косинусів на основі трикутника CDB:

cos(CDB) = (AB)^2/2 + (BC)^2/2 / (AB*BC)

cos(CDB) = y^2 / (xy)

cos(CDB) = y / x

cos(CDB) = sqrt(3)/2

Отже, кут CDB = 60^o.