Question

В монотонно возрастающей арифметической прогрессии сумма квадратов пятнадцатого и девятнадцатого членов равна 37,а их сумма равна 6.Найти разность арифметической прогрессии.

Answer 1

$a=(a_{1}...a_{n})$ - арифметическая прогрессия
d>0 - разность арифметической прогрессии
$left { {{(a_{15})^{2}+(a_{19})^{2}=37} atop {a_{15}+a_{19}=6}} right.$
$a_{19}=a_{15}+4d$ - подставим в систему

$left { {{(a_{15})^{2}+(a_{15}+4d)^{2}=37} atop {a_{15}+a_{15}+4d=6}} right.$

$left { {{(a_{15})^{2}+(a_{15})^{2}+2*a_{15}*4d+16d^{2}=37} atop {2a_{15}+4d=6}} right.$

$left { {{2(a_{15})^{2}+8d*a_{15}+16d^{2}=37} atop {a_{15}=3-2d}} right.$

$left { {{2*(3-2d)^{2}+8d*(3-2d)+16d^{2}=37} atop {a_{15}=3-2d}} right.$

$left { {{2*(9-12d+4d^{2})+24d-16d^{2}+16d^{2}=37} atop {a_{15}=3-2d}} right.$

$left { {{18+8d^{2}=37} atop {a_{15}=3-2d}} right.$

$left { {{8d^{2}=37-18} atop {a_{15}=3-2d}} right.$

$left { {{d^{2}= frac{19}{8} } atop {a_{15}=3-2d}} right.$

$left { {{d= frac{ sqrt{38}}{4} } atop {a_{15}=3-2d}} right.$

Ответ: $d= frac{ sqrt{38}}{4}$