Question

В квадрате ABCD взята точка M так, что MD = MC, угол MCD = $15^{o}$.
Докажите, что AM = MB = AB.

Answer 1

Ответ:

Доказательство в Объяснении.

Объяснение:

Смотрите рисунок.

Так как MD = MC, то точка M находится на серединном перпендикуляре KN к сторонам CD и AB.

Поэтому AM = MB независимо от размера угла ∠MCD.

Остается доказать, что если ∠MCD = 15°, то AM = MB = AB, то есть AMB - равносторонний треугольник.

Так как ∠BCD = 90°, то ∠MCB = 90° - 15° = 75°

Так как ∠CKM = 90°, то ∠KMC = 90° - 15° = 75°

Обозначим сторону квадрата AB = BC = CD = DA = a

KC = KB = CB/2 = a/2

Найдем косинусы 15° и 75°

$cos (15^\circ) = cos (\frac{30^\circ}{2}) = \sqrt{\frac{1+cos(30^\circ)}{2} } =\sqrt{\frac{1+\sqrt{3}/2 }{2} }=\sqrt{\frac{2+\sqrt{3} }{4} }=\\=\frac{\sqrt{2+\sqrt{3}} }{2}= \frac{\sqrt{4+2\sqrt{3}} }{2\sqrt{2} }= \frac{\sqrt{(\sqrt{3}+1)^2} }{2\sqrt{2} }=\frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}$

$cos(75^\circ)=sin(15^\circ)=\frac{\sqrt{3} -1}{2\sqrt{2} }$ - находим аналогично с cos (15°)

Так как треугольник KCM - прямоугольный, то:

$CM=\frac{KC}{cos(15^\circ)} =\frac{a}{2cos(15^\circ)} =\frac{a*2\sqrt{2} }{2(1+\sqrt{3} )} =\frac{a\sqrt{2} }{\sqrt{3}+1 }=\\=\frac{a\sqrt{2}(\sqrt{3}-1) }{(\sqrt{3}+1 )(\sqrt{3}-1 )}=\frac{a\sqrt{2}(\sqrt{3}-1) }{3-1}=\frac{a\sqrt{2}(\sqrt{3}-1) }{2}$

Теперь в треугольнике BCM найдем BM по теореме косинусов:

BM^2 = BC^2 + CM^2 - 2*BC*CM*cos (75°)

$BM^2=a^2+\frac{2a^2(\sqrt{3} -1)^2}{4} -2a*\frac{a\sqrt{2} (\sqrt{3} -1)}{2}*\frac{\sqrt{3}-1 }{2\sqrt{2} } =\\ =a^2+\frac{a^2(\sqrt{3} -1)^2}{2}-\frac{a^2\sqrt{2} (\sqrt{3} -1)(\sqrt{3}-1)}{2\sqrt{2}}=a^2+\frac{a^2(\sqrt{3} -1)^2}{2}-\frac{a^2(\sqrt{3} -1)^2}{2}=a^2$

BM = a = BC = AM = AB

Таким образом, доказали, что треугольник BCM - равнобедренный.

Отсюда следует, что треугольник ABM - равносторонний.

#SPJ1