Question

Відомо, що x² + y ² + 1/2 < x + y. Довести, що x + y = 1 .​

Answer 1

Давайте доведемо, що x + y = 1, виходячи з умови x² + y² + 1/2 < x + y.

Розглянемо додаткову нерівність, щоб отримати більш корисну інформацію:

(x - 1/2)² + (y - 1/2)² < 1/2

Ми маємо вигляд квадратного виразу, тому ліва сторона повинна бути додатньою. Оскільки квадрат будь-якого додатнього числа є додатнім, випливає, що:

(x - 1/2)² > 0

(y - 1/2)² > 0

Таким чином, можемо представити нерівність у вигляді:

(x - 1/2)² + (y - 1/2)² > 0 + 0

(x - 1/2)² + (y - 1/2)² > 0

Але ми маємо дану нерівність:

(x - 1/2)² + (y - 1/2)² < 1/2

Отже, ми отримали суперечність, оскільки не може бути, щоб одночасно виконувалися дійсні нерівності x² + y² + 1/2 < x + y та (x - 1/2)² + (y - 1/2)² < 1/2.

Тому ми зводимося до висновку, що x + y = 1 має бути правильною рівністю.