Question

В арифметичній прогресії 10 членів. Сума її першого й десятого членів дорівнює 13. Чому дорівнює сума третього й восьмого членів?

Answer 1

Ответ:

Спершу давайте знайдемо загальний вираз для суми першого і десятого членів арифметичної прогресії.

Сума перших 10 членів арифметичної прогресії може бути обчислена за формулою:

S10 = (n/2) * [2a + (n-1)d],

де:

S10 - сума перших 10 членів,

n - кількість членів (у нашому випадку 10),

a - перший член прогресії,

d - різниця між членами прогресії.

Ми знаємо, що сума перших і десятих членів дорівнює 13, тобто:

S10 = a + a + 9d = 2a + 9d = 13.

Тепер ми можемо знайти співвідношення між a і d:

2a + 9d = 13.

Тепер ми можемо розв'язати цю систему рівнянь разом з умовою, що нам потрібно знайти суму третього і восьмого членів. Давайте розв'яжемо її:

Спершу знайдемо a та d:

2a + 9d = 13 (1)

Також маємо відомість про те, що ми шукаємо суму третього і восьмого членів:

a3 + a8 = ? (2)

Тепер ми можемо вирішити систему рівнянь (1) та (2).

З рівняння (1) можемо виразити a:

2a = 13 - 9d,

a = (13 - 9d)/2.

Підставимо це значення a в рівняння (2):

(13 - 9d)/2 + (13 - 9d)/2 + 2d = ?

Розширимо це рівняння і спростимо:

13 - 9d + 13 - 9d + 4d = ?

26 - 14d = ?

Тепер знайдемо значення d:

-14d = ? - 26,

-14d = -26,

d = 26 / 14,

d = 13 / 7.

Тепер, коли у нас є значення d, ми можемо знайти a, використовуючи рівняння (1):

2a + 9d = 13,

2a + 9 * (13/7) = 13,

2a + 117/7 = 13.

Віднімемо 117/7 від обох боків:

2a = 13 - 117/7,

2a = (91 - 117)/7,

2a = -26/7.

Тепер розділімо обидва боки на 2:

a = (-26/7) / 2,

a = -13/7.

Таким чином, ми знайшли значення a і d:

a = -13/7,

d = 13/7.

Тепер ми можемо знайти суму третього і восьмого членів (a3 і a8):

a3 = a + 2d = (-13/7) + 2 * (13/7) = (-13/7) + (26/7) = 13/7.

a8 = a + 7d = (-13/7) + 7 * (13/7) = (-13/7) + (91/7) = 78/7.

Сума третього і восьмого членів:

a3 + a8 = (13/7) + (78/7) = (13 + 78)/7 = 91/7 = 13.

Отже, сума третього і восьмого членів арифметичної прогресії дорівнює 13.