Question

В арифметичній послідовності добуток п'ятого, восьмого та десятого членів послідовності дорівнює числу -99. Сума тих самих членів послідовності дорівнює числу -1.Який тридцятий член послідовності?

Answer 1

Відповідь:

89

Пояснення:

(a_n) — арифметична прогресія. Нехай її восьмий член a_8 — x, а різниця дорівнює d. Тоді інші два задані члени такі:

a_5 = x-3d

a_10 = x+2d

Складемо систему за умовою:

$\begin{cases} a_5a_8a_{10}=-99 \\ a_5+a_8+a_{10}=-1 \end{cases}\\\begin{cases} (x-3d)x(x+2d)=-99 \\ x-3d+x+x+2d=-1 \end{cases}\\\begin{cases} (x^2-3dx)(x+2d)=-99 \\ 3x-d=-1 \end{cases}\\\begin{cases} x^3-dx^2-6d^2x+99=0 \\ d=3x+1 \end{cases}\\\begin{cases} d=3x+1 \\ x^3-(3x+1)x^2-6(3x+1)^2x+99=0 \end{cases}\\\begin{cases} d=3x+1 \\ x^3-3x^3-x^2-6(9x^2+6x+1)x+99=0 \end{cases}$

$\begin{cases} d=3x+1 \\ -2x^3-x^2-54x^3-36x^2-6x+99=0 \end{cases}\\\begin{cases} d=3x+1 \\ -56x^3-37x^2-6x+99=0 \end{cases}$

56x³+37x²+6x-99 = 0

Дійсні корені многочлена доцільно шукати серед дільників вільного коефіцієнта. Легко бачити, що x = 1 є розв'язком:

56×1³+37×1²+6×1-99 = 56+37+6-99 = 99-99 = 0

Виконаємо ділення многочлена 56x³+37x²+6x-99 на двочлен x-1 у стовпчик та отримаємо тричлен 56x²+93x+99. Його корені спробуємо знайти за допомогою дискримінанту:

$D = b^2-4ac=93^2-4*56*99=8649-22176<0\\x\notin\mathbb {R}$

Отже, початкове рівняння має єдиний дійсний розв'язок x = 1

Звідси d = 3×1+1, d = 4

Нарешті, 30-ий член послідовності a_30 = x+22d = 1+22×4, a_30 = 89