Question

В арифметической прогрессии сумма n первых членов равна сумме m её первых членов (n≠m) . Доказать, что сумма Sn+m ее членов равна 0.

Answer 1

$S_{n}=frac{2a_{1}+d(n-1)}{2}n \ S_{m} = frac{2a_{1}+d(m-1)}{2}m\\ S_{n+m} = frac{2a_{1}+d(n+m-1))}{2}(n+m)\\ 2a_{1}n+dn(n-1) = 2a_{1}m+dm(m-1)\ 2a_{1}(n-m)=d(m(m-1)-n(n-1))\ 2a_{1}(n-m)=d(m^2-n^2)+d(n-m) \ 2a_{1}=-d(m+n-1)\\ 2a_{1}+d(n+m-1)=0$

 

 То есть равна 0