Question

Установить, что векторы a{- 3;1; 7}, b{9;-1;0},c{- 2;2;1} образуют
базис, и найти координаты вектора d в этом базисе, если вектор d {2;0;-2} .

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Базис - линейно независимая система. Так как матрица квадратная, то можно не преобразовывать ее по Гауссу, а просто посчитать детерминант.

$detleft[begin{array}{ccc}-3&1&7\9&-1&0\-2&2&1end{array}right] = -3*-1*1 + 7*2*9+1*0*-2 - \ \ \ - 7*-1*-2 - 2*0*-3 - 1 * 1*9 = 3+126-14-9 = 106 neq 0$

Определитель не равен нулю, значит векторы линейно независимы, потому составляют базис.

Находим координаты вектора в базисе. Для этого нужно составить систему уравнений и записать ее в матрицу, где каждый вектор из базиса - столбик.

$left[begin{array}{cccc}-3&9&-2&| 2\1&-1&2&| 0\7&0&1&| 2end{array}right]=left[begin{array}{cccc}0&6&4&| 2\1&-1&2&| 0\0&7&-13&| 2end{array}right]=left[begin{array}{cccc}0&6&4&| 2\1&-1&2&| 0\0&1&-17&| 0end{array}right]=\ \ =left[begin{array}{cccc}0&6&4&| 2\1&0&-15&| 0\0&1&-17&| 0end{array}right]=left[begin{array}{cccc}0&0&106&| 2\1&0&-15&| 0\0&1&-17&| 0end{array}right] =$

$=left[begin{array}{cccc}0&0&1&| 1/53\1&0&0&| 15/53\0&1&0&| 17/53end{array}right]$

Итого, координаты вектора [2, 0, -2] в данном базисе будут $(frac{15}{53}, frac{17}{53} , frac{1}{53} )$