Question

Установіть відповідність між функцією (1-4) та кількістю усіх точок екстремуму

(А-Д) цієї функції:

1. y=4x;

2. y=4x²-1;

3. y=x4- 4x2;

4. y=sin4x; А) безліч; Б) три; В) дві; г) одна; Д) жодної.

Answer 1

Ответ:

1. y = 4x  ⇔  Д) жодної

2. y=4x²-1  ⇔   г) одна;

3. y=x⁴- 4x²    ⇔    Б) три;

4. y = sin(4x)    ⇔   А) безліч;

Объяснение:

1) y = 4x  ⇔  Д) жодної

График функции -прямая линия. Функция возрастает на всей области определения. Точек экстремума нет

2. y=4x²-1  ⇔   г) одна;

график функции - парабола ветвями вверх. Точка экстремума (минимума) одна - в вершине параболы.

3. y=x⁴- 4x²    ⇔    Б) три;

Посмотрим на точки экстремума.

Используем необходимое условие существования точек экстремума.

Первая производная

y' = 4x³ - 8x = 4x(x² -2x)

4x(x² -2x) = 0  x₁ = 0;    x₂,₃ = ± √2

Дальше используем достаточное условие экстремума функции . Вторая производная:

y'' = 12x² - 8

Вычисляем:

y''(0) = -8 < 0 - значит точка x₁ = 0 точка максимума функции.

y''(-√2) = 16 > 0  значит  точка x₂ = (-√2)  точка минимума функции.

y''(√2) = 16 > 0   значит  точка x₃ = √2  точка минимума функции.

У функции три точки  экстремума.

4)  y = sin(4x)    ⇔   А) безліч;

График - синусоида. Точек экстремума - бесконечное множество.

#SPJ1