Question

Упростите выражение
$displaystylesqrt{frac{1-cosalpha}{1+cosalpha} } +sqrt{frac{1+cosalpha}{1-cosalpha} }$

Answer 1

домножу первое подкоренное выражение на (1-cosa)- и числитель и знаменатель. тогда получу

(1-cos a)^2/(1-cos^2 a)=(1-cos a)^2/sin^2 a

первое слагаемое тогда равно (1-cos a)/|sin a|

второе слагаемое будет |sin a|/(1-cos a)

(1-cos a)/|sin a| + |sin a|/(1-cos a)=((1-cos a)^2+sin^2 a)/((1-cos a)|sin a|)=

=(1-2cos a+cos^2 a+sin^2 a)/((1-cos a)|sin a|)=(2-2cos a)/((1-cos a)|sin a|)=

=2/|sin a|

Answer 2

$boxed {; cos^2x=frac{1+cos2x}{2}; ; ,; ; sin^2x=frac{1-cos2x}{2}; }\\\sqrt{frac{1-cosa}{1+cosa}}+sqrt{frac{1+cosa}{1-cosa}}=sqrt{frac{2sin^2frac{a}{2}}{2cos^2frac{a}{2}}}+sqrt{frac{2cos^2frac{a}{2}}{2sin^2frac{a}{2}}}=sqrt{tg^2frac{a}{2}}+sqrt{ctg^2frac{a}{2}}=\\=|tgfrac{a}{2}|+|ctgfrac{a}{2}|\\\P.S.; ; 1-cosa=(sin^2frac{a}{2}+cos^2frac{a}{2})-(cos^2frac{a}{2}-sin^2frac{a}{2})=2sin^2frac{a}{2}$

$1+cosa=(sin^2frac{a}{2}+cos^2frac{a}{2})+(cos^2frac{a}{2}-sin^2frac{a}{2})=2cos^2frac{a}{2}\\frac{1-cosa}{1+cosa}=frac{2sin^2frac{a}{2}}{2cos^2frac{a}{2}}=tg^2frac{a}{2}$

Answer 3

но не написано, что формулы двойного аргумента не проходили

Answer 4

писал мне уже в комментариях....

Answer 5

примеры такого рода обычно дают после изучения формул двойного аргумента, ученики вряд ли понимают, что формулы двойного аргумента и половинного тесно связаны

Answer 6

Спасибо всем за решения. Это выражение нужно упростить, пользуясь только основными тригонометрическими тождествами. Формулы двойного и половинного аргументов не используем [Алгебра 9 класс. Учебник для углубл. изучения. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. и др. (2008) задание 1179]