Question

Упростите выражение:
1 + tg3x - tg(60+ x) tgx. ​

Answer 1

Ответ:

Можно воспользоваться формулой тангенса разности для упрощения выражения:

tg(α-β) = (tgα - tgβ) / (1 + tgα tgβ)

Применим её к выражению tg(60+ x) tgx:

tg(60+ x) tgx = [tg(60+ x) - tgx + tgx] [tgx / (tg(60+ x) - tgx + tgx)] = [(tg60 tgx + tgx - tg60 tgx) / (1 + tg60 tgx)] [tgx / (tgx + tg(60+ x) - tgx)] = tgx

Теперь подставим это обратно в исходное выражение и упростим:

1 + tg3x - tg(60+ x) tgx = 1 + tg3x - tgx^2 = (1 - tgx^2) + tg3x = cos^2x + sin^2x + 2tgx / (1 - tg^2x) = (1 + tg^2x) + 2tgx / (1 - tg^2x) = (1 + tgx)^2 / (1 - tgx)

Ответ: (1 + tgx)^2 / (1 - tgx).