Question

упростить
(64b² + 128b + 64)/b : (4/b + 4)
(у второго выражения в знаменателе только b, 4 отдельно)

это задание огэ, такой вопрос уже задавали, но ответы были как в решуогэ.соm, а там вообще ничего не понятно. мы такое уже решали, но когда они упрощают второе выражение, получается 4(1+b) / b , а у меня получается то же, но без знаменателя. откуда он там взялся? в общем и целом, напишите пожалуйста развернутый ответ (желательно в рукописном вложении, так как печатать дроби не очень удобно и понятно. у меня почему-то не вставляется фото с заданием, поэтому я написала так)

​

Answer 1

Ответ:

16b + 16

Пошаговое объяснение:

(64b² + 128b + 64)/b : (4/b + 4)

1) (64b² + 128b + 64)/b = (8b + 8)²/b
2) 4/b + 4 = (4b+ 4) / b

3) (8b+8)²/b * b/4b+4 = (8b + 8)²/4b + 4

4) (8(b+1))²/4(b+1) = 64(b+1)²/4(b+1)

5) 64(b+1)²/4(b+1) = 16b + 16
P.S. "когда они упрощают второе выражение, получается 4(1+b) / b , а у меня получается то же, но без знаменателя. откуда он там взялся?"
когда у нас 4/b + 4 нужно привести к общему знаменателю, то есть 4 нужно умножить на b. Имеем: 4/b + 4b/b = 4b+4/b выносим 4 за скобки:
4(b+1)/b

Answer 2

Ответ:

$16b+16.$

Пошаговое объяснение:

Решим данное выражение по действиям. Для начала определим их порядок.

[!] Порядок действий при вычислениях (внутри скобок данный порядок сохранятется):

  [1] Действия в скобках;

  [2] Умножение/деление по порядку (слева направо);

  [3] Сложение/вычитание по порядку (слева направо).

Значит, порядок действий будет таков (сначала вычисления в скобках, затем деление):

                 ②    ①

$\frac{64b^{2}+128b+64 }{b} :(\frac{4}{b} +4)=$

➊

Первым действием нам нужно сложить дробь и число. Для простоты представим наше число как дробь со знаменателем 1:

$\frac{4}{b} +4 = \frac{4}{b} +\frac{4}{1}$

Далее, нам нужно привести эти дроби к наименьшему общему знаменателю. Для этого нам нужно найти НОК (наименьшее общее кратное) чисел $b$ и $1$ (то есть наименьшее число, которое делится на два других без остатка). Таковым будет $b$.

Далее, разделив знаменатели старых дробей на $b$ мы получим дополнительные множители для каждого числителя старых дробей. После этого, мы должны попарно перемножить числители и соответствующие им дополнительные множители, таким образом получив новые числители (для дробей с новыми знаменателями).

В нашем случае, для первой дроби дополнительным множителем будет $b:b=1$, а для второй - $b:1=b$.

Так мы получим следующее:

$\frac{4*1}{b} +\frac{4*b}{b}=\frac{4}{b} +\frac{4b}{b}$

Теперь, знаменатели у обеих дробей одинаковые, значит мы можем объединить две дроби под одну общую дробную черту:

$=\frac{4+4b}{b}=$

Далее, в числителе мы можем вынести за скобки общий множитель - $4$:

$=\frac{4(1+b)}{b}.$

Итак мы максимально упростили наше первое выражение. Перейдём ко второму.

➋

$\frac{64b^{2}+128b+64 }{b} :\frac{4(1+b)}{b} =$

Итак, нам нужно поделить одну дробь на другую.

Вспомним, что деление - это действие обратное умножению. Значит, деление какого-либо числа на дробь мы можем заменить умножением на взаимно обратную дробь нашей изначальной дроби (проще говоря на "перевёрнутую", то есть дробь, в которой мы поменяли местами числитель и знаменатель).

Например: $\alpha :\frac{x}{y} = \alpha *\frac{y}{x}$.

В нашем случае, "перевернём" дробь $\frac{4(1+b)}{b}$ и деление заменим умножением. Получим следующее:

$= \frac{64b^{2}+128b+64 }{b} *\frac{b}{4(1+b)} =$

Далее, мы можем объединить эти две дроби в одну, в числителе которой будет произведение числителей старых дробей, а в знаменателе - произведение знаменателей тех же старых дробей, то есть:

$= \frac{(64b^{2}+128b+64) *b}{b*4(1+b)} =$

Здесь мы видим, что и в числителе есть множитель $b$, и в знаменателе есть точно такой же множитель $b$. Поэтому, мы можем их сократить (убрать), так как они равны и при делении друг на друга выходит единица. Это можно записать вот так:

$= \frac{(64b^{2}+128b+64) }{4(1+b)} *\frac{b}{b} =\frac{(64b^{2}+128b+64) }{4(1+b)} *1 =\frac{(64b^{2}+128b+64) }{4(1+b)}=$

(от перестановки мест множителей произведение не меняется, поэтому спокойно можем поменять местами  $4$ и $b$, чтобы было понятнее)

Далее, в числителе мы можем вынести общий множитель 64:

$=\frac{64(b^{2}+2b+1) }{4(1+b)}=$

Сократим $64$ и $4$ ($64:4=16$, значит в числителе останется $16$, а в знаменателе - 1).

$=\frac{64(b^{2}+2b+1) }{4(1+b)}=\frac{16(b^{2}+2b+1) }{1(1+b)}=\frac{16(b^{2}+2b+1) }{(1+b)}=$

В числителе мы видим квадратный трёхчлен. Попробуем разложить его на множители.

________________________________________________________

Для этого приравняем его к нулю и найдём корни соответствующего квадратного уравнения:

$b^{2} +2b+1=0;$

$a=1; p=2; q=1;$

$D=p^{2} -4aq;$

$D=2^{2} -4*1*1=4-4=0$

Так как $D=0$, то квадратное уравнение имеет 1 корень.

$b=\frac{-p+-\sqrt{D} }{2a};$

$b=\frac{-2+-\sqrt{0} }{2*1} =\frac{-2+-0}{2} =\frac{-2}{2} = -1.$

Теперь, разложим наш квадратный трёхчлен на множители по следующей формуле:

$ax^{2} +px+q=a(b-b_{1} )(b-b_{2} );$

$b_{1}$ и $b_{2}$ - корни квадратного уравнения.

Так как корень в нашем уравнении один, то $b_{1}$ и $b_{2}$ будут совпадать, то есть: $b_{1} =b_{2} =b;$

Значит:

$b^{2} +2b+1=1(b-(-1)(b-(-1)=(b+1)(b+1).$

________________________________________________________

Теперь, квадратный трёхчлен заменим на разложенный на множители, получим:

$=\frac{16(b+1)(b+1)}{(1+b)} =$

Сократим $(b+1)$ и $(1+b)$:

$=\frac{16(b+1)}{1} =16(b+1) = 16b+16.$

__________
Удачи Вам! :)