Question

Углы треугольника относятся как 1 : 3 : 8. Найдите длину большей стороны, если длина средней по величине стороны равна 10. ПЖЖЖЖЖЖЖЖЖ.25 БАЛЛОВ

Answer 1

Ответ:

$\dfrac{10\sqrt{6}}{3}$

Объяснение:

∠А : ∠В : ∠С = 1 : 3 : 8

Пусть ∠А = х, тогда ∠В = 3х, ∠С = 8х.

Сумма углов треугольника равна 180°:

x + 3x + 8x = 180°

12x = 180°

x = 15°

∠A = 15°,

∠B = 3 · 15 = 45°  

∠C = 8 · 15 = 120°

В треугольнике против большего угла лежит большая сторона, значит надо найти сторону АВ, лежащую против угла С.

Против среднего по величине угла В лежит сторона АС. Значит АС = 10.

По теореме синусов:

$\dfrac{AB}{\sin \angle C}=\dfrac{AC}{\sin \angle B}$

$\dfrac{AB}{\sin 120^\circ}=\dfrac{10}{\sin45^\circ}$

$AB=10\cdot \sin120^\circ :\sin45^\circ$

$\sin45^\circ=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin120^\circ=\sin(180^\circ-60^\circ)=\sin60^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

$AB=10\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}:\dfrac{\sqrt{2}}{2}=10\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot \dfrac{2}{\sqrt{2}}=$

$=\dfrac{10\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\dfrac{10\sqrt{6}}{2}=5\sqrt{6}$