Question

учащемуся 9 класса нужно было доказать, что значение суммы 2k+3/k-1 больше 3,где k-натуральное и не равное 1 число.ученик подставил вместо k число 2 и, допустив ошибку при вычислении, сказал, что это доказать невозможно. как считаете Вы? Аргументируйте свою точку зрения. ​

Answer 1

Если скобок нет, то выражение  можно переписать так

2*(к+1/к) +1/к-1

если к больше 0, то

к+1/к>=2

Действительно, умножив обе части на к, перепишем последнее неравенство так

к^2-2к+1=(к-1)^2>=0

Значит выражение

больше либо равно

4+1/к-1>3  для положительных к.

Сказано, что к -натуральное, значит утверждение верно.

Впрочем, для натуральных к всё рассуждение не нужно, оно необходимо для любых положительных к.

Для натуральных к достаточно убедиться , что утвержение верно для к=1 (2+3-1 больше 3), а дальше функция представленная  данным выражением при натуральных к , очевидно, монотонно возрастает (разность между соседними значениями при к и к+1 равна 2+(1/(к+1)-1/к)  и пложительна)