Question

У рівнобічній трапеції діагональ є бісектрисою тупого кута і ділить середню лінію на відрізки завдовжки 5,5 см та 12,5 см. Знайти площу трапеції.

Answer 1

Нехай $ABCD$ - рівнобічна трапеція, де $AB$ та $CD$ - основи, $BC$ та $AD$ - бічні сторони, $AC$ - діагональ, яка є бісектрисою кута $DAB$.

Позначимо $M$ - точку перетину діагоналі $AC$ та середньої лінії $EF$ трапеції, де $EM = 5.5$ см, $MF = 12.5$ см. Тоді, $EF = EM + MF = 5.5 + 12.5 = 18$ см.

Оскільки $AC$ є бісектрисою кута $DAB$, то відрізки $AM$ та $MC$ пропорційні відрізкам $EM$ та $MF$. Тобто, $\frac{AM}{MC} = \frac{EM}{MF} = \frac{5.5}{12.5} = \frac{11}{25}$.

З цього випливає, що $AM = \frac{11}{36}AC$ та $MC = \frac{25}{36}AC$

Оскільки $ABCD$ є рівнобічною трапецією, то $EF = \frac{AB + CD}{2}$. Звідси, $AB + CD = 2EF = 2 \cdot 18 = 36$ см.

Площа трапеції обчислюється за формулою $S = \frac{AB + CD}{2} \cdot h$, де $h$ - висота трапеції. Нам потрібно знайти $h$.

Висоту можна знайти за допомогою теореми Піфагора в правокутному трикутнику $AME$. За теоремою Піфагора, $AM^2 + ME^2 = AE^2$. Ми знаємо, що $AM = \frac{11}{36}AC$ та $ME = 5.5$ см. Також, $AE = AD = BC = \frac{AC}{2}$, оскільки $AC$ є бісектрисою кута $DAB$.

З цього випливає, що $\left(\frac{11}{36}AC\right)^2 + (5.5)^2 = \left(\frac{AC}{2}\right)^2$. Розв'язуючи це рівняння відносно $AC$, ми отримаємо $AC = 24$ см.

Тепер, ми можемо знайти висоту $h$ за допомогою теореми Піфагора: $h = \sqrt{AE^2 - AM^2} = \sqrt{\left(\frac{AC}{2}\right)^2 - \left(\frac{11}{36}AC\right)^2} = \sqrt{\left(\frac{24}{2}\right)^2 - \left(\frac{11}{36} \cdot 24\right)^2} = 15$см

Отже, площа трапеції дорівнює $S = \frac{AB + CD}{2} \cdot h = \frac{36}{2} \cdot 15 = 270$ см$.^{2}$