Question

У коробці є 7 білих, 5 зелених і 4 голубі кульки. Скільки існує способів витягнути з коробки три кульки так, щоб принаймні дві кульки серед них були одного кольору?

Answer 1

Рассмотрим случаи, когда извлеченные шары одинакового цвета.
3 белых шара - сочетание из 7 по 3:
$C_7^3= dfrac{7cdot6cdot5}{1cdot2cdot3} =7cdot5=35$
3 зеленых шара - сочетание из 5 по 3:
$C_5^3= dfrac{5cdot4cdot3}{1cdot2cdot3} =5cdot2=10$
3 голубых шара - сочетание из 4 по 3:
$C_4^3= dfrac{4cdot3cdot2}{1cdot2cdot3} =4$

Рассмотрим случаи, когда два извлеченных шара одинакового цвета, а третий отличается от них.
2 белых шара + 1 зеленый или голубой: сочетание из 7 по 2, умноженное на количество не белых шаров (5+4):
$C_7^2cdot (5+4)= dfrac{7cdot6}{1cdot2} cdot 9=7cdot3cdot9=189$
2 зеленых шара + 1 белый или голубой: сочетание из 5 по 2, умноженное на количество не зеленых шаров (7+4):
$C_5^2cdot (7+4)= dfrac{5cdot4}{1cdot2} cdot 11=5cdot2cdot11=110$
2 голубых шара + 1 белый или зеленый: сочетание из 4 по 2, умноженное на количество не голубых шаров (7+5):
$C_4^2cdot (7+5)= dfrac{4cdot3}{1cdot2} cdot 12=2cdot3cdot12=72$

Находим сумму всех возможных вариантов:
$35+10+4+189+110+72=420$
Ответ: 420 способов