Question

Тройной интеграл
....................................

Answer 1

Перейдем к цилиндрическим координатам. Напомню, что модуль якобиана перехода от декартовых координат к цилиндрическим равен r. В новых координатах область задается условиями

$0\le \varphi\le \pi/2;\ 0\le r\le 4;\ 0\le z\le 4.$ Поэтому интеграл можно свести к повторному

$\int_0^{\pi/2} d\varphi\int_0^2r\,dr\int_0^4 r^2\cos\varphi\sin\varphi z\, dz=\int_0^{\pi/2}\cos\varphi\sin\varphi\, d\varphi \cdot \int_0^2r^3\, dr\cdot\int_0^4 z\, dz=$

$=\int_0^{\pi/2}\sin \varphi\, d\sin\varphi\cdot \left.\frac{r^4}{4}\right|_0^2\cdot \left.\frac{z^2}{2}\right|_0^4=\left.\frac{\sin^2\varphi}{2}\right|_0^{\pi/2}\cdot 4\cdot 8=16.$

Ответ: 16