Question

 

Тригонометрический пример.. бьюсь над ним уже 3 часа помогите!!!

 

 

 cos2x - √3 sin2x = √3

(вычислить x)

 

 (пс: вроде надо решать по 8 группе. Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного аргумента!)

потом обозначать tg 2x/2 = y (но это может быть не правильно)

 

 ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА! 

Answer 1

Можно и без тангенса.

Разделим обе части на 2:

$<var>\frac12\cos2x - \frac{\sqrt3}2\sin2x =\frac{\sqrt3}2\\ \sin\frac\pi6\cos2x-\cos\frac\pi6\sin2x=\frac{\sqrt{3}}2\\ \sin(\frac\pi6-2x)=\frac{\sqrt3}2\\ \sin(2x-\frac\pi6)=-\frac{\sqrt3}2\\ 2x-\frac\pi6=(-1)^{k+1}\frac\pi3+\pi k,k\in\mathbb Z\\ x=\frac\pi{12}+(-1)^{k+1}\frac\pi6+\frac\pi2 k</var>$

 

Тоже самое через тангенс tgx=t

$<var>\frac{1-t^2}{1+t^2}-\sqrt3\frac{2t}{1+t^2}=\sqrt3\\ (\sqrt3+1)t^2+2\sqrt3t+(\sqrt3-1)=0</var>$

Один корень угадывается просто (t1=-1), второй находится по теореме Виета

$<var>t_2=\frac{\sqrt3-1}{\sqrt3+1}=\frac12(3+1-2\sqrt3)=2-\sqrt3</var>$

Откуда

$<var>x=-\frac\pi4+\pi k, k\in \mathbb Z\qquad\text{or}\qquad x=\arctan(2-\sqrt3)+\pi m, m\in \mathbb Z</var>$

Можно показать, что arctg(2-sqrt3)=pi/12, но это неинтересно.