Question

Три студента пишут контрольную работу из 4-х задач. Первый студент решает любую задачу с вероятностью 3/4, второй — с вероятностью 1/2, третий — 1/4. Преподаватель получил анонимную работу с тремя решенными задачами.
Кому скорее всего принадлежит работа и с какой вероятностью?

Answer 1

Ответ:

Первый студент с вероятностью 27/46

Пошаговое объяснение:

Формула Байеса:

$P(A|B)={{P(B|A)*P(A)}\over{P(B)}}$

Возьмём за событие B "ровно 3 задачи решены верно", за событие $A_N$ будем брать "решения студента N" перебирая N от 1 до 3.

Будем считать, что "анонимная работа" выбиралась из 3 равновероятно, тогда

$P(A_N)=1/3$

(для всех N)

$P(B|A_1)=3/4 * 3/4 * 3/4 * 1/4 * 4 = 27/64\\P(B|A_2)=1/2 * 1/2 * 1/2 * 1/2 * 4 = 1/4 = 16/64\\P(B|A_3)=1/4 * 1/4 * 1/4 * 3/4 * 4 = 3/64$

(рассуждения - должно быть решено 3 правильно, 1 неправильно. Вариантов из 4 задач пометить 3 как "правильные" и 1 как "неправильную" ровно 4)

Ответ "какая работа" виден уже здесь - P(B) для всех 3 студентов равен, P(A) тоже, оставшийся множитель самый большой у студента 1. Осталось посчитать вероятность P(B)

$P(B)=P(B|A_1)*P(A_1) + P(B|A_2)*P(A_2) + P(B|A_3)*P(A_3) = \\={{27 + 16 + 3}\over{64 * 3}} = {{46}\over{64 * 3}}$

Подставляем всё в формулу:

$P(A_1|B)={(27 / 64) * (1/3)\over 46 / (64 * 3)}=27/46$