Question

только то, что выделено желтым

Answer 1

по теореме Виета для квадратного уравнения:
x²+bx+c=0

$left { {{x_1+x_2=-b} atop {x_1*x_2=c}} right.$
 где x₁ и х₂ - корни уравнения

значит 

$left { {{x_1+x_2=-( sqrt{5} - sqrt{3}) } atop {x_1*x_2=- sqrt{15} }} right. textless = textgreater left { {{x_1+x_2=sqrt{3} - sqrt{5}} atop {x_1*x_2=- sqrt{15} }} right.$

а) требуется найти x₁²+x₂²
дополним это выражение до полного квадрата:
x₁²+x₂²=x₁²+x₂²+2x₁х₂ -2x₁х₂=(x₁+х₂)²-2x₁х₂
теперь подставляем, что нам известно:

$(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=( sqrt{3}- sqrt{5})^2 -2*(- sqrt{15} )=3-2 sqrt{5} sqrt{3} +5+\ \+ 2 sqrt{15} =3-2 sqrt{15} +5+ 2 sqrt{15} =3+5=8 \ \ OTBET: x_1^2+x_2^2=8$

б) требуется найти сумму кубов:
x₁³+х₂³
разложим на множители по формуле суммы кубов:

x₁³+х₂³=(x₁+х₂)(x₁²-x₁х₂+х₂²)=
преобразуем вторую скобку, так чтобы получился полный квадрат СУММЫ
=(x₁+х₂)(x₁²-x₁х₂+х₂²+2x₁х₂-2x₁х₂)=(x₁+х₂)(x₁²+2x₁х₂+х₂²-3x₁х₂)=
=(x₁+х₂)((x₁+х₂)²-3x₁х₂)
подставляем значения:

$(x_1+x_2)((x_1+x_2)^2-3x_1x_2)=( sqrt{3}- sqrt{5})(( sqrt{3}- sqrt{5})^2-3(- sqrt{15} )= \ \ =( sqrt{3}- sqrt{5})(3-2 sqrt{15}+5+3 sqrt{15} )= ( sqrt{3}- sqrt{5})(8+ sqrt{15} )= \ \ =8 sqrt{3} + sqrt{45} -8 sqrt{5} - sqrt{75} =8 sqrt{3} +3 sqrt{5} -8 sqrt{5} - 5sqrt{3} =3 sqrt{3} -5 sqrt{5} \ \ OTBET: x_1^3+x_2^3=3 sqrt{3} -5 sqrt{5}$