Question

tgxdy+(1-y)dx=0,
если y(pi/2)=3

Answer 1

Ответ:

Дано дифференциальное уравнение: tg(x)dy + (1 - y)dx = 0.

Для решения этого уравнения мы можем использовать метод разделяющихся переменных. Для этого перепишем уравнение в следующем виде:

tg(x)dy = (y - 1)dx.

Теперь разделим обе части уравнения на (y - 1):

(tg(x)dy) / (y - 1) = dx.

Теперь мы можем проинтегрировать обе части уравнения относительно соответствующих переменных:

∫ (tg(x)dy) / (y - 1) = ∫ dx.

Интегрируя, получим:

ln|y - 1| = x + C,

где С - произвольная постоянная интегрирования.

Для определения конкретного значения С, используем начальное условие y(pi/2) = 3. Подставим x = pi/2 и y = 3 в уравнение:

ln|3 - 1| = pi/2 + C,

ln|2| = pi/2 + C.

Используя свойства натурального логарифма, получаем:

ln(2) = ln(e^(pi/2 + C)),

ln(2) = ln(e^(pi/2) * e^C),

ln(2) = ln(e^(pi/2)) + ln(e^C),

ln(2) = pi/2 + C.

Таким образом, значение C равно ln(2) - pi/2.

Подставим это значение в общее решение уравнения:

ln|y - 1| = x + (ln(2) - pi/2).

Это является общим решением данного дифференциального уравнения.