Question

$sqrt{x + 3 - 4 sqrt{x - 1 } } + sqrt{x + 8 - 6 sqrt{x - 1 } } = 1$ Решите уравнение​

Answer 1

ОДЗ: $x-1 geq 0 \ x geq 1$

$sqrt{x+3-4 sqrt{x-1}}+ sqrt{x+8-6 sqrt{x-1}}=1\ sqrt{x+(4-1)-4 sqrt{x-1}}+ sqrt{x+(9-1)-6 sqrt{x-1}}=1\ sqrt{x-1-4 sqrt{x-1}+4}+ sqrt{x-1-6 sqrt{x-1}+9}=1\ sqrt{( sqrt{x-1})^2-2*2 sqrt{x-1}+2^2}+ sqrt{ (sqrt{x-1})^2-2*3 sqrt{x-1}+3^2}=1\ sqrt{( sqrt{x-1}-2)^2}+ sqrt{ (sqrt{x-1}-3)^2}=1\| sqrt{x-1}-2|+ |sqrt{x-1}-3|=1\\2 leq sqrt{x-1}leq 3 \ 4 leq x-1 leq 9 \ 5 leq x leq 10$

x∈[5;10]

Answer 2

Замена: $sqrt{x-1}=tge 0; x=t^2+1; sqrt{t^2-4t+4}+sqrt{t^2-6t+9}=1;$

$sqrt{(t-2)^2}+sqrt{(t-3)^2}=1; |t-2|+|t-3|=1$

Вспомним геометрическое определение модуля: |a-b| - это расстояние между a и b. Поэтому уравнение говорит о том, что сумма расстояний от t  до 2 и 3 равна 1. Но расстояние между 1 и 2 тоже равно 1. Поэтому, если t принадлежит отрезку [2;3], сумма расстояний от t до 2 и 3 равна 1, если же t не принадлежит этому отрезку, сумма расстояний больше 1. Поэтому решением уравнения для t служит отрезок [2;3], то есть

$tin [2;3]; t^2in [4;9]; x=t^2+1in [5;10]$

Ответ: [5;10]