Question

$(sqrt{3-2sqrt{2} } )^x+(sqrt{3+2sqrt{2} } )^xgeq 6$ Решите пожалуйста

Answer 1

Выражения под корнями взаимно обратные. Сделаем замену :

$(sqrt{3-2sqrt{2} })^{x}=m,m>0$

Тогда :

$(sqrt{3+2sqrt{2} })^{x}=frac{1}{m}$

$m+frac{1}{m} geq 6\\m^{2}-6m+1geq0\\m^{2}-6m+1=0\\D=36-4=32=4sqrt{2}\\m_{1}=frac{6-4sqrt{2} }{2}=3-2sqrt{2}\\m_{2}=frac{6+4sqrt{2} }{2}=3+2sqrt{2}$

$(m-(3-sqrt{2}))(m-(3+2sqrt{2}))geq 0$

          +                                -                                   +

0_________[3-2√2]__________[3 + 2√2]__________  m

1) 0 < m ≤ 3 - 2√2                    2) m ≥ 3 + 2√2

$1)(sqrt{3-2sqrt{2} })^{x} leq3-2sqrt{2}\\(3-2sqrt{2})^{frac{x}{2} }leq 3-2sqrt{2}\\frac{x}{2} leq1\\xleq2\\xin(-infty;2]\\2)(sqrt{3-2sqrt{2} })^{x}geq3+2sqrt{2}\\(3-2sqrt{2})^{frac{x}{2} }geq (3-2sqrt{2})^{-1}\\frac{x}{2}geq-1\\xgeq -2\\xin[-2;+infty)$

Ответ : x ∈ [- 2 ; 2]