Question

$sqrt{15-x} + sqrt{3-x}=6$

Answer 1

1-й способ. Угадываем решение $x=-1 (sqrt{15-(-1)}+sqrt{3-(-1)}=sqrt{16}+sqrt{4}+4+2=6$ - верно).

Левая часть уравнения - это сумма двух убывающих функций и поэтому убывает. Правая часть - константа. Следовательно, других решений нет.

Ответ: - 1

2-й способ. $sqrt{15-x}=a geq 0; sqrt{3-x}=b geq 0;$
уравнение равносильно системе
$left { {{a+b=6} atop {a^2-b^2=12}} right.; left { {{a+b=6} atop {(a-b)(a+b)=12}} right. ; left { {{a+b=6} atop {a-b=2}} right.; left { {{a=4} atop {b=2}} right.; sqrt{3-x}=2; 3-x=4;$
$x=-1.$ Проверка

3-й способ. Угадываем корень x=-1 (4+2=6). Пусть x отличен от -1. Преобразуем:$(sqrt{15-x}-4)+(sqrt{3-x}-2)=0; frac{15-x-16}{sqrt{15-x}+4}+frac{3-x-4}{sqrt{3-x}+2}=0;$

$frac{-x-1}{sqrt{15-x}+4}+frac{-x-1}{sqrt{3-x}+2}=0; frac{1}{sqrt{15-x}+4}+frac{1}{sqrt{3-x}+2}=0.$

Поскольку левая часть положительна, других решений нет.

4-й способ. Домножим левую и правую части уравнения на разность корней:

$15-x-3+x=6(sqrt{15-x}-sqrt{3-x}); sqrt{15-x}-sqrt{3-x}=2.$.

Возьмем разность между исходным уравнением и полученным:

$2sqrt{3-x}=4; x=-1;$ проверка.

5-й способ. Возводим уравнение в квадрат:

$15-x+3-x+2sqrt{(15-x)(3-x)}=36; 2sqrt{(15-x)(3-x)}= 2x+18$;

$sqrt{(15-x)(3-x)}=x+9;$ возводим в квадрат:

$45-18x+x^2=x^2+18x+81; 36x=-36; x=-1;$ проверка: 4+2=6.

Замечание. Можно было бы привести еще пару-тройку способов)))