Question

$logx_{|x-2|} (3-|x|)leq 1$

Answer 1

$log_{x|x-2|}(3-|x|)leq 1$

Запишем условия определенности слагаемых входящих в неравенство:

$left { {{x>0,;x neq2} atop {|x|<3}} right.$; Перепишем неравенство в несколько другом виде: $log_{x|x-2|}(3-|x|)-log_{x|x-2|}x|x-2|leq 0$;

Отойдем от решения этого неравенства и рассмотрим другое, обобщенное неравенство: $log_{a}b-log_{a}cleq 0$ (*), где a, b, c - числа, для которых выражения имеют смысл.

Пусть a>1, тогда большим значениям b и c будут соответствовать большие значения логарифма. При таком условии, решить неравенство (*) все равно, что решить неравенство $b-cleq 0$(i); Если a<1, то все наоборот: большим значениям b, c будут соответствовать меньшие значения логарифмов. Это можно переписать в виде неравенства $c-bleq 0$(ii); То есть переход от неравенства (i) к (ii) осуществляется через переход числа a через 1. Можем записать с учетом a≠1: $(a-1)(b-c)leq 0$, а раз мы не знаем равно ли a единице или нет, то это условие можно "запихнуть" в знаменатель: $frac{b-c}{a-1}leq0$ - в левой части, что называется, знакотождественное выражение по отношению к $log_{a}b-log_{a}c$. Почему можно перейти от логарифмического неравенства к рациональному, ведь они принимают разные значения в разных точках? А все потому, что нам важен лишь только знак выражения, который оказывается одинаковым, что у первого, что у второго выражений. Это метод называется методом рационализации.

Применим этот метод к нашему неравенству, а затем найдем пересечение множества его решений с вышеизложенными условиями.

$frac{3-|x|-x|x-2|}{x|x-2|-1}leq 0$ - здесь уже можно воспользоваться методом интервалов. Для этого найдем корни числителя и знаменателя: $3-|x|-x|x-2|=0 Leftrightarrow 3=|x|+x|x-2|$; Сделаем замену: m=x-1;

$|m+1|+(m+1)|m-1|=3,; ]mgeq 1 Rightarrow m^{2}+m-3=0Rightarrow m=frac{-1+sqrt{13}}{2}$; Для -1≤m<1: $m+1-(m+1)(m-1)=3Leftrightarrow mnotin mathbb{R}$; Для m<-1:  $-m-1-(m+1)(m-1)=3 Leftrightarrow mnotin mathbb{R}$. Значит, $x=frac{1+sqrt{13}}{2}$;

Для знаменателя: $x|x-2|=1Rightarrow x^{2}(x-2)^{2}=1 Leftrightarrow (x^{2}-2x-1)(x^{2}-2x+1)=0$, нам не подходят отрицательные x, поэтому, с учетом этого, $x=1,; x=1+sqrt{2}$; После применения метода интервалов, получаем решение неравенства: $xin (-infty,;1) cup(1,; frac{1+sqrt{13}}{2}]cup (1+sqrt{2},;infty)$. Пересечение с условиями и, по совместительству, ответ: $xin (0,;1)cup(1,;2)cup(2,;frac{1+sqrt{13}}{2})cup(1+sqrt{2},; 3)$