Question

$lim_{x to a} = (x^m-a^m)/(x^n-a^n)$

Answer 1

Заменим x на a * (1 + y), при этом $xto a$ соответствует $yto 0$. Подставляем:

$displaystylelim_{xto a}frac{x^m-a^m}{x^n-a^n}=lim_{yto0}frac{a^m(1+y)^m-a^m}{a^n(1+y)^n-a^n}=a^{m-n}lim_{yto0}frac{(1+y)^m-1}{(1+y)^n-1}=dots$

Известно, что $(1+y)^a-1sim ay$ при $yto0$ (это можно получить, например, из одного из замечательных пределов). Тогда

$displaystyledots =frac{m}{n}a^{m-n}lim_{yto0}frac{(1+y)^m-1}{ym}cdotfrac{yn}{(1+y)^n-1}=frac{m}{n}a^{m-n}cdot1cdot 1=frac{m}{n}a^{m-n}$