Question

$frac{1+ctg2x*ctgx}{tgx+ctgx}$

С подробным объяснением пожалуйста

Answer 1

Ответ:

$dfrac12mathop{mathrm{ctg}}x$

Объяснение:

Формулы для тангенсов-котангенсов всё равно никто не знает, так что перепишем всё в виде отношений и заодно применим формулы двойных аргументов косинуса и синуса:

$displaystyle frac{1+mathop{mathrm{ctg}}2xmathop{mathrm{ctg}}x}{mathop{mathrm{tg}}x+mathop{mathrm{ctg}}x}=frac{1+frac{1-2sin^2x}{2sin xcos x}frac{cos x}{sin x}}{frac{sin x}{cos x}+frac{cos x}{sin x}}=star$

Домножаем числитель и знаменатель на $2sin^2xcos x$:

$displaystylestar=frac{1+frac{1-2sin^2x}{2sin xcos x}frac{cos x}{sin x}}{frac{sin x}{cos x}+frac{cos x}{sin x}}=frac{2sin^2xcos x+cos x-2sin^2xcos x}{2sin x(sin^2x+cos^2x)}=diamond$

В числителе после приведения подобных останется только cos x, в знаменателе применяем основное тригонометрическое тождество:

$diamond=dfrac{cos x}{2sin xcdot1}=dfrac12mathop{mathrm{ctg}}x$