Question

$4logx^{2} _{4}(sin^{3}x ) +8log_{2} (sinx)geq 1$

Answer 1

4•log²₄(sin³x) + 8•log₂(sinx) - 1 ≥ 0

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ОДЗ:  sinx > 0  ⇒  x ∈ ( 2пn ; п + 2пn ) , n ∈ Z

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4•(  (1/2)•3•log₂(sinx)  )² + 8•log₂(sinx) - 1 ≥ 0

9•log²₂(sinx) + 8•log₂(sinx) - 1 ≥ 0

Пусть log₂(sinx) = a , a ≤ 0 , тогда

9a² + 8a - 1 ≥ 0

9•( a - 1/9 )( a + 1 ) ≥ 0

++++++++[ - 1 ]------[0]-------[ 1/9 ]++++++++> a

a ≤ - 1  ⇒  log₂(sinx) ≤ - 1   ⇒  log₂(sinx) ≤ log₂(1/2)  ⇒  sinx ≤ 1/2

x ∈ [ - 7п/6 + 2пn ; п/6 + 2пn ] , n ∈ Z

С учётом ОДЗ  ⇒  х ∈ [ - 7п/6 + 2пn ; - п + 2пn ) ∪ ( 2пn ; п/6 + 2пn ] , n ∈ Z

ОТВЕТ: [ - 7п/6 + 2пn ; - п + 2пn ) ∪ ( 2пn ; п/6 + 2пn ], n ∈ Z