Question

$(3^{x}*2^{x} -4) (3^{x}-2^{x} +4) \leq 0$

Answer 1

$(3^x\cdot 2^x-4)(3^x-2^x+4)\leq0$

Докажем, что для любого значения переменной $x$ выражение во вторых скобках принимает только положительные значения.

Показательная функция $y=a^x$ возрастающая, если основание степени больше единицы. В данном случае   $3>1$  и  $2>1$.

$x>0;\ \ \ 3>2\ \ \ \Rightarrow\ \ \ 3^x>2^x\ \ \ \Rightarrow\ \ \ 3^x-2^x+4>0\\\\x=0;\ \ \ \Rightarrow\ \ \ 3^0=2^0=1\ \ \ \Rightarrow\ \ \ 3^0-2^0+4=4>0$

Для отрицательных значений переменной  $x$ сделаем замену:$x<0;\ \ \ -x=z,\ \ z>0\\\\3^x-2^x=\dfrac1{3^{-x}}-\dfrac1{2^{-x}}=\dfrac1{3^z}-\dfrac1{2^z}=-\left(\dfrac1{2^z}-\dfrac1{3^z}\right)$

Так как $z>0$,  то  

$2^z<3^z\ \ \ \Rightarrow\ \ \ \dfrac1{2^z}>\dfrac1{3^z}$  

и разность правильных дробей с числителем 1 меньше единицы.

$0<\dfrac1{2^z}-\dfrac1{3^z}<1\ \ \ \ \ \ \Big|\cdot(-1)\\\\0>-\left(\dfrac1{2^z}-\dfrac1{3^z}\right)>-1\\\\-1<-\left(\dfrac1{2^z}-\dfrac1{3^z}\right)<0\ \ \ \ \Big|+4\\\\3<-\left(\dfrac1{2^z}-\dfrac1{3^z}\right)+4<4\ \ \ \Rightarrow\ \ \ \boldsymbol{3<3^x-2^x+4<4}$

Значит, для отрицательных значений $x$ выражение во вторых скобках будет больше 3, то есть тоже будет положительным.

$3^x-2^x+4>0;\ \ \forall x\in R\ \ \ \ \ \blacksquare$

Разделим обе части исходного неравенства на положительное выражение во вторых скобках, получим:

$(3^x\cdot2^x-4)(3^x-2^x+4)\leq0\ \ \ \ \bigg|:(3^x-2^x+4)>0\\\\3^x\cdot2^x-4\leq0\\\\6^x\leq4\\\\6>1\ \ \ \Rightarrow\ \ \ \log_66^x\leq\log_64\ \ \ \ \Rightarrow\ \ \ \boxed{\boldsymbol{x\leq\log_64}}$

Ответ:  $\boldsymbol{x\in(-\infty;\log_64]}$