Question

$1 + frac{1}{ {2}^{3} } + frac{1}{ {3}^{3} } + ... + frac{1}{ {n}^{3} } < frac{5}{4}$
n=натуральное число
надо доказать. пожалуйста помогите

Answer 1

Добрый день!

В левой части выражение записан частный случай ряда Дирихле.

${displaystyle sum _{k=1}^{infty }{frac {1}{k^{alpha }}}=1+{frac {1}{2^{alpha }}}+{frac {1}{3^{alpha }}}+{frac {1}{4^{alpha }}}+cdots +{frac {1}{k^{alpha }}}$

При a > 1 этот ряд сходится => мы можем найти сумму это ряда.

частичной суммой ряда - Sn  = $1+{frac {1}{2^{alpha }}}+{frac {1}{3^{alpha }}}+{frac {1}{4^{alpha }}}+cdots +{frac {1}{k^{alpha }}}$  при а = 3

=> $lim_{k to infty} 1+{frac {1}{2^{alpha }}}+{frac {1}{3^{alpha }}}+{frac {1}{4^{alpha }}}+cdots +{frac {1}{k^{alpha }}} = E(3)$

E(3) - Дзета функция Римана 3

Это число достаточно знаменитое и носит своё название - Постоянная Апери = 1,202.....

Таким образом

1.202... < 1.25

ЧТД

** Если не секрет, хотелось бы узнать в каком сборнике вы встретили такую задачу.

*** Быть может, она решается как то иначе, но ничего лучше приведённого выше решения не пришло в голову.

Answer 2

я это решила на олимпиаде