Question

Терміново буду вдячний не через gpt chat

Обчисли інтеграл чи визначи його розбіжність від 1 до 2 xdx/✓(x-1)

Answer 1

Ответ:

Интеграл сходится и

$\Large \boldsymbol {} \displaystyle \int\limits^2_1 {\frac{x}{\sqrt{x-1} } } \, dx = 2\frac{2}{3}$

Пошаговое объяснение:

Требуется вычислить несобственный интеграл второго рода, то есть подынтегральная функция

$\Large \boldsymbol {} \displaystyle \frac{x}{\sqrt{x-1} }$

не определена в точке x = 1.

Решение. Переходим в предельное соотношение и в конце вычислим значение интеграла.

$\Large \boldsymbol {} \displaystyle \int\limits^2_1 {\frac{x}{\sqrt{x-1} } } \, dx = \lim_{a \to 1+0} \int\limits^2_a {\frac{x}{\sqrt{x-1} } } \, dx = \lim_{a \to 1+0} \int\limits^2_a {\frac{(x-1)+1}{\sqrt{x-1} } } \, dx = \\\\= \lim_{a \to 1+0} \int\limits^2_a {\frac{x-1}{\sqrt{x-1} } } \, dx + \lim_{a \to 1+0} \int\limits^2_a {\frac{1}{\sqrt{x-1} } } \, dx = \\\\= \lim_{a \to 1+0} \int\limits^2_a {\sqrt{x-1} } \, dx + \lim_{a \to 1+0} \int\limits^2_a {(x-1)^{-\frac{1}{2} } } \, dx =$

$\Large \boldsymbol {} \displaystyle = \lim_{a \to 1+0} \int\limits^2_a {(x-1)^{\frac{1}{2} } \, dx + \lim_{a \to 1+0} \int\limits^2_a {(x-1)^{-\frac{1}{2} } } \, dx =$

$\Large \boldsymbol {} \displaystyle = \lim_{a \to 1+0} \frac{(x-1)^{\frac{1}{2}+1 }}{\frac{1}{2}+1} |^2_a + \lim_{a \to 1+0} \frac{(x-1)^{-\frac{1}{2}+1 }}{-\frac{1}{2}+1} |^2_a = \\\\= \lim_{a \to 1+0} \frac{(x-1)^{\frac{3}{2} }}{\frac{3}{2}} |^2_a + \lim_{a \to 1+0} \frac{(x-1)^{\frac{1}{2} }}{\frac{1}{2}} |^2_a = \\\\= \frac{2}{3} \lim_{a \to 1+0} \sqrt{(x-1)^3} |^2_a + 2 \lim_{a \to 1+0} \sqrt{x-1} |^2_a=$

$\large \boldsymbol {} \displaystyle = \frac{2}{3} \lim_{a \to 1+0} (\sqrt{(2-1)^3}-\sqrt{(a-1)^3}) + 2 \lim_{a \to 1+0} ( \sqrt{2-1}-\sqrt{a-1}) = \\\\= \frac{2}{3} \lim_{a \to 1+0} (1-\sqrt{(a-1)^3}) + 2 \lim_{a \to 1+0} ( 1-\sqrt{a-1}) =\\\\= \frac{2}{3} \cdot (1-\sqrt{(1-1)^3}) + 2 \cdot ( 1-\sqrt{1-1}) =\\\\=\frac{2}{3} \cdot (1-0) + 2 \cdot ( 1-0) =\frac{2}{3}+2=2\frac{2}{3}.$

Так как получили конечное число, то интеграл сходится.

#SPJ1